திசையன்கள் சேர்த்தல்

திசையன்களின் கூட்டல் பற்றிய கட்டுரை

1. திசையன் மற்றும் ஸ்கேலரின் அளவுகள்

அடிப்படை மற்றும் வகைக்கெழு அளவுகளுக்குக் கூடுதலாக, இயற்பியல் அளவுகளை திசையிலா அளவுகள் மற்றும் திசையளவு அளவுகள் என மேலும் இரண்டு வகைகளாகப் பிரிக்கலாம். நிறை, தொலைவு, நேரம் மற்றும் கன அளவு போன்ற அளவுகள் திசையிலா அளவுகள் ஆகும்; இவை எண்மதிப்பை மட்டுமே கொண்டிருக்கும், ஆனால் திசையற்றவை. அதேசமயம், இடப்பெயர்வு, திசைவேகம், முடுக்கம் மற்றும் விசை போன்ற எண்மதிப்புகள் திசையளவு அளவுகள் ஆகும்; இவை எண்மதிப்பையும் திசையையும் கொண்டிருக்கும் அளவுகள்.

அ. ஸ்கேலார் மற்றும் வெக்டர் அளவுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

ஒரு பந்தின் நிறை 400 கிராம் என்று நீங்கள் கூறினால், அந்த பந்தின் நிறையை அறிந்துகொள்ள இந்தக் கூற்றே போதுமானது. பந்தின் நிறையைக் கண்டறிய உங்களுக்கு திசை தேவையில்லை. இதேபோல்தான் நேரம், வெப்பநிலை, கன அளவு, அடர்த்தி போன்றவற்றிற்கும் பொருந்தும். பல இயற்பியல் அளவுகளை எண் மதிப்பில் மட்டுமே வெளிப்படுத்த முடியாது. ஒரு குழந்தை 100 மீட்டர் தூரம் நகர்கிறது என்று நீங்கள் கூறினால், இந்தக் கூற்று மட்டும் போதாது. அவன் எங்கே நகர்ந்தான் என்று நீங்கள் கேட்கலாம். அது வடக்கா, தெற்கா, கிழக்கா அல்லது மேற்கா? இதேபோல்தான், நீங்கள் மேசையை 200 நியூட்டன் விசையுடன் தள்ளுகிறீர்கள் என்று கூறினால்...

நீங்கள் எங்கே ஓட்டுகிறீர்கள்? சரி, இதுபோன்ற அளவுகள் திசையளவு அளவுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவற்றுக்கு எண்மதிப்பு மற்றும் திசை பற்றிய விளக்கம் தேவைப்படுகிறது. இடப்பெயர்வு, முடுக்கம், கணத்தாக்கம், உந்தம் போன்றவை திசையளவு அளவுகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள் ஆகும். அந்த அளவுகள் தொடர்பான பாடங்களைப் படிக்கும்போது நீங்கள் இதை இன்னும் தெளிவாகப் புரிந்துகொள்ளலாம்.

b. ஒரு திசையனை வரையவும்

திசையன் ஒரு அம்புக்குறியால் குறிக்கப்படுகிறது. அம்புக்குறி எப்போதும் திசையனின் திசையை நோக்கியவாறு வரையப்படுகிறது. அம்புக்குறியின் நீளம் திசையனின் எண்மதிப்பு என விவரிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, படத்தில் 2 N எண்மதிப்பு கொண்ட ஒரு விசை (F) திசையனின் திசையானது, வடகிழக்கு திசையை நோக்கியோ அல்லது x-அச்சைப் பொறுத்து 45 ^{° கோணத்திலோ உள்ளது.}

c. திசையன் அளவுகளை எழுதுவதற்கான விதிகள்

ஒரு திசையனை எழுதும் போது, ​​கையால் எழுதினால், திசையனின் குறியீடு பொதுவாகப் பெரிய எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி சாய்வெழுத்துக்களில் (italics) எழுதப்படும், மேலும் அதன் மேலே ஒரு அம்புக்குறி சேர்க்கப்பட வேண்டும். அச்சிடப்பட்ட புத்தகங்களில், திசையன் குறியீடுகள் தடித்த பெரிய எழுத்துக்களில் எழுதப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, F. திசையனின் அளவைப் பொறுத்தவரை, கையால் எழுதினால், திசையனின் அளவு இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, |F|. அச்சிடப்பட்ட புத்தகங்களில், திசையனின் அளவு சாய்வெழுத்துக்களில் (italics) எழுதப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக , F.

2. திசையன்களின் கூட்டல்—வரைபட முறைகள்

வரைபட ரீதியாக திசையன்களைக் கூட்டுவதற்கு, வால்-முதல்-முனை முறை மற்றும் இணைகர முறை உட்பட பல வழிகள் உள்ளன.

அ. வெக்டர்களைக் கூட்டுவதற்கான வால்-முனை முறை

வெக்டர்கள் A மற்றும் B அறியப்பட்டுள்ளன. வெக்டர் A = 3 செ.மீ, x-அச்சுடன் (கிழக்கு நோக்கி) பொருந்துகிறது. வெக்டர் B = 2 செ.மீ, x-அச்சுடன் 30 ^° கோணத்தை (வடகிழக்கு நோக்கி) உருவாக்குகிறது. வால்-முனை முறையைப் பயன்படுத்தி A மற்றும் B-ஐ வரைபட ரீதியாகக் கூட்டவும். அ) R = A + B ஆ) R = A – B

தொகுபயன் திசையனின் (R) எண்மதிப்பு அளவுகோலைக் கொண்டு அளக்கப்படுகிறது. தொகுபயன் திசையனின் திசை கோணமானியைக் கொண்டு அளக்கப்படுகிறது.

அறியப்பட்ட வெக்டர்கள் A, B, மற்றும் C. வெக்டர் A = 3 செ.மீ, x-அச்சுடன் (கிழக்கு நோக்கி) பொருந்துகிறது. வெக்டர் B = 2 செ.மீ, x-அச்சுடன் 30 ^{° கோணத்தை (வடகிழக்கு நோக்கி) உருவாக்குகிறது. வெக்டர் C = 1 செ.மீ, x-அச்சுடன் 60 °} கோணத்தை (வடகிழக்கு நோக்கி) உருவாக்குகிறது. வால்-முனை முறையைப் பயன்படுத்தி A, B, மற்றும் C-ஐ வரைபட ரீதியாகக் கூட்டவும்.

அ) R = A + B + C

b) R = A – B – C

தொகுபயன் திசையன் (R) அளவுகோலைக் கொண்டு அளக்கப்படுகிறது. தொகுபயன் திசையனின் திசையானது கோணமானியைக் கொண்டு அளக்கப்படுகிறது.

b. இணைகர முறை

அறியப்பட்ட வெக்டர்கள் A, B, மற்றும் C. வெக்டர் A = 3 செ.மீ, x-அச்சுடன் (கிழக்கு நோக்கி) பொருந்துகிறது. வெக்டர் B = 2 செ.மீ, x-அச்சுடன் (வடகிழக்கு நோக்கி) 30 ^° கோணத்தை உருவாக்குகிறது. வெக்டர் C = 1 செ.மீ , x-அச்சுடன் (வடகிழக்கு நோக்கி) 60 ^° கோணத்தை உருவாக்குகிறது . ஒரு இணைகரத்தைப் பயன்படுத்தி A, B, மற்றும் C-ஐ வரைபட முறையில் கூட்டவும்.

அ) R = A + B

b) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

தொகுபயன் திசையன் (R) அளவுகோலைக் கொண்டு அளக்கப்படுகிறது. தொகுபயன் திசையனின் திசையானது கோணமானியைக் கொண்டு அளக்கப்படுகிறது.

3. திசையன்களின் கூட்டல் – அஅறிவியல் முறை

வரைபட முறையைப் பயன்படுத்தி தொகுபயன் திசையனின் அளவு மற்றும் திசையைக் கண்டறிவது ஒரு அணுகுமுறையாகும். முடிவுகளின் துல்லியம், அளவுகோலை வரைவதிலும் படிப்பதிலும் உங்கள் துல்லியத்தைப் பொறுத்தது. தொகுபயன் திசையனின் அளவு மற்றும் திசை ஆகியவை கணிதக் கணக்கீடுகள் மூலம் மிகவும் துல்லியமாகப் பெறப்படுகின்றன.

அ. கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி 2 வெக்டர்களின் தொகையைக் கணக்கிடுதல்

தொகுபயன் திசையனின் மதிப்பைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்:

தொகுபயன் திசையனின் திசையைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்:

C = விளைவு திசையன்

A = திசையன் 1

B = திசையன் 2

cos ∠(A, B) = A மற்றும் B திசையன்களால் உருவாக்கப்படும் கோணம்

மாதிரிச் சிக்கல் 1:

F ₁ = 2 N விசையானது x-அச்சைப் பொறுத்து 30° கோணத்தையும், F ₂ = 3 N விசையானது x-அச்சைப் பொறுத்து 60 ^° கோணத்தையும் , θ = 30 ^° கோணத்தையும் உருவாக்குகிறது.

மாதிரிச் சிக்கல் 2:

F ₁ = 2 N என்பது x-அச்சுடன் பொருந்துகிறது, F ₂ = 3 N என்பது x-அச்சைப் பொறுத்து 90 ^° கோணத்தை உருவாக்குகிறது , θ = 90 ^°.

b. கூறுகள் வாரியாக வெக்டர்களைக் கூட்டுதல்

கீழேயுள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, x-அச்சைப் பொறுத்து ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தை உருவாக்கும் வெக்டர் F-ஐ மதிப்பாய்வு செய்யவும். F _x மற்றும் F _y ஆகியவை வெக்டர் F-இன் கூறு வெக்டர்கள் ஆகும்.

கூறு திசையனின் எண்மதிப்பு பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நிர்ணயிக்கப்படுகிறது:

F _x = F cos θ

F _y = F sin θ

இரண்டு வெக்டர்கள் F-ஐ மதிப்பாய்வு செய்யவும்₁ மற்றும் எஃப்₂ இது, கீழேயுள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, x-அச்சைப் பொறுத்து ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தை உருவாக்குகிறது. F_1x மற்றும் எஃப்_1y வெக்டர் F இன் கூறுகள்₁, அதனால் F_2x மற்றும் எஃப்_2y வெக்டர் F இன் கூறுகள்₂.

கூறு திசையன் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

F_1x = எஃப்₁ காஸ் θ

F _1y = F ₁ sin θ

F _2x = F ₂ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

கூறு திசையன்களைச் சேர்த்தல்:

F _x = F _1x + F _2x

F _y = F _1y + F _2y

விளைவு திசையன் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

விளைவு திசையனின் திசையானது பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

மாதிரிச் சிக்கல் 1:

20 N அளவு கொண்டதும், x-அச்சைப் பொறுத்து 30 ^° கோணத்தை உருவாக்குவதுமான வெக்டர் F-இன் கூறுகளைக் கண்டறியவும் .

F _x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

மாதிரிச் சிக்கல் 2:

F ₁ = 20 N விசையானது x-அச்சைப் பொறுத்து 30 ^° கோணத்தையும் , F ₂ = 15 N விசையானது x-அச்சைப் பொறுத்து 180° கோணத்தையும் உருவாக்குகின்றன. அவற்றின் தொகுபயன் திசையனின் எண்மதிப்பையும் திசையையும் கண்டறியவும்.

F _1x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _2x = F ₁ = – 15 N

F _1y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

F _2y = 0

கூறு திசையன்களைச் சேர்த்தல்:

F _x = F _1x – F _2x = 17 N – 15 N = 2 N

F _y = 10 N

விளைவு திசையன்:

F ₂ = F _x ² + F _y ² = 2 ² + 10 ² = 4 + 100 = 104

எஃப் = 10.2 என்

விளைவு திசையனின் திசை:

x-அச்சைப் பொறுத்து θ = tan −15 = 78.7 ^°

மாதிரிச் சிக்கல் 3:

F₁, எஃப்_2, மற்றும் எஃப்₃ 20 N, 30 N மற்றும் 40 N ஆகும். F₁ 60 கோணத்தை உருவாக்குகிறது^o x-அச்சைப் பொறுத்து, F₂ 150 கோணத்தை உருவாக்குகிறது^o x-அச்சைப் பொறுத்து, மற்றும் F₃ 315 கோணத்தை உருவாக்குகிறது^o x-அச்சைப் பொறுத்து, தொகுபயன் திசையனின் எண்மதிப்பையும் திசையையும் கண்டறியவும்.

F _1x = (20 N)(cos 60 ^o ) = 10 N

F _1y = (20 N)(sin 60 ^o ) = 17 N

F _2x = (30 N)(cos 30 ^o ) = -26 N

F _2y = (30 N)(sin 30 ^o ) = 15 N

F _3x = (40 N)(cos 45 ^o ) = 28 N

F _3y = (40 N)(sin 45 ^o ) = -28 N

கூறு திசையனைச் சேர்த்தல்:

F _x = F _1x – F _2x + F _3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

விளைவு திசையன்:

F ² = F _x ² + F _y ² = 12 ² + 4 ² = 144 + 16 = 160

எஃப் = 13 என்

விளைவு திசையனின் திசை:

x-அச்சைப் பொறுத்து θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^°