குழுத் தரவுகளின் இடைநிலை மற்றும் முகடு வகை
புள்ளிவிவரத் தரவுகள் அறிவியல் ஆய்வுகள், வணிகம், பொருளாதாரம் மற்றும் பல்வேறு பிற துறைகளில் எப்போதுமே ஒரு முக்கிய அங்கமாக இருந்து வந்துள்ளன. அடிப்படையில், எண் தரவுகளைப் பல்வேறு வழிகளில் பகுப்பாய்வு செய்யலாம், அவற்றில் ஒன்று மையப் போக்கு அளவீடுகளைப் பயன்படுத்துவதாகும். தொகுக்கப்பட்ட தரவுப் பகுப்பாய்வில் மையப் போக்கின் இரண்டு முக்கியமான அளவீடுகள் இடைநிலை மற்றும் முகடு வகுப்பு ஆகும். இந்தக் கட்டுரை, தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளின் சூழலில் இடைநிலை மற்றும் முகடு வகுப்பின் வரையறை, கணக்கீடு மற்றும் பயன்பாடு ஆகியவற்றை ஆராயும்.
குழுத் தரவுகளில் இடைநிலையைப் புரிந்துகொள்ளுதல்
இடைநிலை என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தரவுத் தொகுப்பின் நடு மதிப்பாகும். தரவுகள் அதிர்வெண் இடைவெளிகளில் அமைக்கப்பட்டிருக்கும் தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளின் சூழலில், ஒரு சிறப்புச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இடைநிலையைக் கண்டறியலாம். ஒற்றைத் தரவைப் போலல்லாமல், தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கு மேலும் விரிவான கணக்கீடுகள் தேவைப்படுகின்றன, ஏனெனில் தரவுகள் இடைவெளி வகுப்புகளாகத் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன.
இடைநிலையைக் கணக்கிடுவது எப்படி
குழுத் தரவுகளின் இடைநிலையைக் கணக்கிட, பின்வரும் வழிமுறைகளைப் பின்பற்றலாம்:
1. மொத்த நிகழ்வெண், \( n \) -ஐக் கண்டறியவும்.
2. \( \frac{n}{2} \) ஐக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இடைநிலை வகுப்பின் இருப்பிடத்தைக் கண்டறியவும்.
3. \( \frac{n}{2} \) என்ற நிலையைக் கொண்ட வகுப்பைக் கண்டறியவும்.
4. இடைநிலை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
\[
இடைநிலை = L_m + (n/2 – F_{m-1}}{f_m}) × c
\]
எங்கே:
– \( L_m \) என்பது இடைநிலை வகுப்பின் கீழ் எல்லையாகும்.
– \( F_{m-1} \) என்பது வகுப்பு இடைநிலைக்கு முந்தைய திரள் நிகழ்வெண் ஆகும்.
– \( f_m \) என்பது இடைநிலை வகுப்பு அதிர்வெண் ஆகும்.
– \( c \) என்பது இடைவெளி வகுப்பின் அகலம் ஆகும்.
குழுத் தரவுகளுக்கான இடைநிலைக் கணக்கீட்டின் எடுத்துக்காட்டு
பின்வரும் தரவுகள் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்:
வகுப்பு இடைவெளி | அதிர்வெண் |
|—————-|————–|
| 10 – 20 | 5 |
| 20 – 30 | 8 |
| 30 – 40 | 12 |
| 40 – 50 | 6 |
| 50 – 60 | 4 |
மொத்த நிகழ்வெண் (\( n \)) = 5 + 8 + 12 + 6 + 4 = 35
இடைநிலையைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறைகள் பின்வருமாறு:
1. \( \frac{n}{2} \) ஐக் கணக்கிடுக:
\[
\frac{35}{2} = 17.5
\]
2. இடைநிலை வகுப்பைக் கண்டறியவும். 17.5வது இடமானது 30 – 40 என்ற வகுப்பு இடைவெளியில் உள்ளது (ஏனெனில் 5 + 8 + 12 = 25, இதில் 17.5 அடங்கும்).
3. \( L_m, F_{m-1}, f_m, \) மற்றும் \( c \) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்:
\[
L_m = 30, F_{m-1} = 5 + 8 = 13, f_m = 12, c = 10
\]
4. இடைநிலை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
\[
இடைநிலை = 30 + (17.5 – 13/12) × 10
\]
\[
இடைநிலை = 30 + (4.5/12) × 10
\]
\[
இடைநிலை = 30 + 3.75 = 33.75
\]
ஆகவே, தரவுகளின் இடைநிலை மதிப்பு 33.75 ஆகும்.
குழுத் தரவில் பயன்முறை வகுப்பைப் புரிந்துகொள்ளுதல்
ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் மிக அதிக முறை நிகழும் மதிப்பே முகடு ஆகும். தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கு, நாம் முகடு வகுப்பைக் கருத்தில் கொள்கிறோம், இது மிக அதிக முறை நிகழும் வகுப்பு இடைவெளியாகும்.
மோட் கிளாஸை எவ்வாறு கணக்கிடுவது
குழுத் தரவில் முகடு வகுப்பைத் தீர்மானிக்க:
1. அதிக நிகழ்வெண் கொண்ட வகுப்பைக் கண்டறியவும்.
2. முகட்டைக் கணக்கிட பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
\[
\text{Mode} = L_m + \left(\frac{f_1 – f_0}{(f_1 – f_0) + (f_1 – f_2)}\right) \times c
\]
எங்கே:
– \( L_m \) என்பது பயன்முறை வகுப்பின் கீழ் எல்லையாகும்.
– \( f_1 \) என்பது பயன்முறை வகுப்பின் அதிர்வெண் ஆகும்.
– \( f_0 \) என்பது முகடு வகுப்பிற்கு முந்தைய வகுப்பின் அதிர்வெண் ஆகும்.
– \( f_2 \) என்பது முகடு வகுப்பிற்குப் பிறகான வகுப்பின் அதிர்வெண் ஆகும்.
– \( c \) என்பது இடைவெளி வகுப்பின் அகலம் ஆகும்.
பயன்முறை வகுப்பு கணக்கீட்டின் எடுத்துக்காட்டு
முந்தைய உதாரணத்திற்குத் திரும்புவோம்:
வகுப்பு இடைவெளி | அதிர்வெண் |
|—————-|————–|
| 10 – 20 | 5 |
| 20 – 30 | 8 |
| 30 – 40 | 12 |
| 40 – 50 | 6 |
| 50 – 60 | 4 |
அதிகபட்ச நிகழ்வெண் கொண்ட வகுப்பு 30 – 40 (நிகழ்வெண் 12) ஆகும்.
முகட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறைகள் பின்வருமாறு:
1. \( L_m, f_1, f_0, f_2, \) மற்றும் \( c \) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்:
\[
L_m = 30, f_1 = 12, f_0 = 8, f_2 = 6, c = 10
\]
2. முகடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
\[
முகடு = 30 + (12 – 8)/(12 – 8) + (12 – 6)) × 10
\]
\[
முகடு = 30 + (4/4 + 6) × 10
\]
\[
முகடு = 30 + (4/10) × 10
\]
\[
முகடு = 30 + 4 = 34
\]
எனவே, தரவின் முகடு 34 ஆகும்.
தரவுப் பகுப்பாய்வில் இடைநிலை மற்றும் முகடு வகுப்பின் பயன்பாடு
தரவுப் பகுப்பாய்வில், குறிப்பாகத் தரவு சமச்சீரற்றதாகவோ அல்லது புறத்தன்மைகளைக் கொண்டதாகவோ இருக்கும்போது, இடைநிலை மற்றும் முகடு வகுப்புகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இதோ சில உதாரணங்கள்:
1. பொருளாதாரம்: வருமானம் அல்லது வீட்டு விலைகளைத் தீர்மானிக்க இடைநிலை மதிப்பு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஏனெனில், உச்சபட்ச மதிப்புகளால் பாதிக்கப்படக்கூடிய சராசரியை விட, இது நடுநிலையான நிலைமைகளைச் சிறப்பாகப் பிரதிபலிக்கிறது.
2. வணிகம்: ஒரு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் எந்தப் பொருட்கள் அல்லது சரக்குகள் அதிகம் விற்கப்படுகின்றன என்பதைக் கண்டறிய, விற்பனைப் பகுப்பாய்வில் பயன்முறை வகுப்பு (Mode class) பயன்படுத்தப்படுகிறது.
3. சமூகம்: மக்கள்தொகை புள்ளிவிவரங்களில் ஒரு மக்கள்தொகையின் நடுத்தர வயதை நிர்ணயிக்க இடைநிலை பயன்படுத்தப்படுகிறது.
4. கல்வி: தேர்வு மதிப்பெண் பகுப்பாய்வானது, வகுப்பு செயல்திறனை மதிப்பிடுவதற்குச் சராசரிக்குப் பதிலாகப் பெரும்பாலும் இடைநிலையைப் பயன்படுத்துகிறது.
இடைநிலை மற்றும் முகடு ஆகியவற்றைக் கணக்கிட்டு விளக்கும் முறைகளைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், தரவுப் பகுப்பாய்வாளர்கள் தாங்கள் ஆய்வு செய்யும் தரவுகள் குறித்த மிகவும் துல்லியமான மற்றும் பொருத்தமான புரிதல்களைப் பெற முடியும். மையப் போக்கின் இந்த இரண்டு அளவீடுகளும், தரவுப் பரவலின் ஒரு முழுமையான சித்திரத்தை வழங்குவதற்காக, மற்ற புள்ளியியல் முறைகளுக்குத் துணைபுரிகின்றன.
முடிவுரை
இடைநிலை மற்றும் முகடு வகுப்பு என்பவை, தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளைப் பகுப்பாய்வு செய்யப் பயன்படும் புள்ளியியலின் இரண்டு அடிப்படைக் கருத்துகளாகும். இடைநிலை என்பது ஒரு தரவுப் பரவலின் நடு மதிப்பை வழங்குகிறது, அதேசமயம் முகடு வகுப்பு என்பது அதிகபட்ச நிகழ்வெண் கொண்ட தரவு இடைவெளியைக் குறிக்கிறது. சராசரியை விட ஆழமான தகவல்களை இவை வழங்குவதால், தரவுப் பகுப்பாய்வின் பல்வேறு துறைகளில் இவை இரண்டும் முக்கியமானவை. தரவுப் பகுப்பாய்வில் ஈடுபடும் எவருக்கும் இடைநிலை மற்றும் முகடு வகுப்பைப் புரிந்துகொள்வதும் கணக்கிடத் தெரிவதும் மதிப்புமிக்க திறன்களாகும். இக்கட்டுரை, இரண்டையும் கணக்கிடுவதற்கான படிகளை விளக்குவதோடு, நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகளையும் வழங்குகிறது. இது, வாசகர்கள் தாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்யும் தரவுகளின் பரவலைப் பற்றி மேலும் விரிவான மற்றும் ஆழமான புரிதலைப் பெற உதவுகிறது.
