ஒருங்கமை சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்
சமன்பாட்டு அமைப்புகள் என்றும் அழைக்கப்படும் ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகள், பல மாறிகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்புகளாகும். இந்தச் சமன்பாடுகள் ஒரே நேரத்தில் தீர்க்கப்படுவதால், அவை ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன; அதாவது, தீர்வு ஒரே நேரத்தில் அனைத்துச் சமன்பாடுகளையும் திருப்திப்படுத்த வேண்டும். ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது என்பது கணிதத்தில் ஒரு அடிப்படைத் திறனாகும், இது இயற்பியல், பொருளாதாரம், பொறியியல் மற்றும் கணினி அறிவியல் போன்ற பல்வேறு துறைகளில் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கப் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் முறைகள் குறித்த ஒரு விரிவான கண்ணோட்டத்தை வழங்குவதே இந்தக் கட்டுரையின் நோக்கமாகும்.
அடிப்படை கருத்துக்கள்
ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறைகளுக்குள் செல்வதற்கு முன், சில அடிப்படைச் சொற்களையும் கருத்துகளையும் புரிந்துகொள்வது அவசியம்.
மாறிகள்: அறியப்படாத மதிப்புகளைக் குறிக்கும் குறியீடுகள், இவை பொதுவாக x, y, மற்றும் z போன்ற எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன.
– நேரியல் சமன்பாடுகள் : மாறிகள் ஒன்றின் அடுக்கிற்கு உயர்த்தப்பட்டு நேரியல் வடிவில் தோன்றும் சமன்பாடுகள் (எ.கா., \(2x + 3y = 6\)).
– நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள் : ஒன்றைத்தவிர வேறு அடுக்குகளில் உள்ள மாறிகள், மாறிகளின் பெருக்கற்பலன்கள், முக்கோணவியல் சார்புகள் போன்றவற்றை உள்ளடக்கிய சமன்பாடுகள் (எ.கா., \(x^2 + y^2 = 9\)).
சமன்பாட்டு அமைப்புகள்: ஒரே மாறித் தொகுதியைக் கொண்ட இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்புகள்.
நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான ஒரு நிலையான உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:
\[
\தொடங்கு{வழக்குகள்}
2x + 3y = 6 \\
4x – y = 5
\முடிவு{வழக்குகள்}
\]
இந்த அமைப்பின் தீர்வு என்பது, இரண்டு சமன்பாடுகளையும் ஒரே நேரத்தில் பூர்த்தி செய்யும் ஏதேனும் ஒரு ஜோடி \((x, y)\) ஆகும்.
ஒருங்கமை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்
1. வரைபட முறை
வரைபட முறையானது, ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் ஒரு ஆய அச்சுக் கட்டத்தில் குறித்து, வரைபடங்கள் வெட்டும் புள்ளிகளைக் கண்டறிவதை உள்ளடக்கியது. இந்த வெட்டும் புள்ளிகள், சமன்பாட்டுத் தொகுப்பிற்கான தீர்வுகளைக் குறிக்கின்றன.
படிகள்:
1. ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் \( y = mx + c \) என்ற வடிவத்திற்கு மாற்றவும், இதில் \( m \) என்பது சாய்வு மற்றும் \( c \) என்பது y-வெட்டு ஆகும்.
2. இந்தச் சமன்பாடுகளால் குறிக்கப்படும் கோடுகளை ஒரு வரைபடத்தில் குறிக்கவும்.
3. கோடுகளின் வெட்டுப்புள்ளி(களை)க் கண்டறியவும்.
உதாரணமாக:
பின்வரும் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைக் கருத்தில் கொள்க:
\[
\தொடங்கு{வழக்குகள்}
2x + 3y = 6 \\
4x – y = 5
\முடிவு{வழக்குகள்}
\]
இவற்றைச் சரிவு-வெட்டு வடிவத்திற்கு மாற்றவும்:
\[
\தொடங்கு{வழக்குகள்}
y = -\frac{2}{3}x + 2 \\
y = 4x - 5
\முடிவு{வழக்குகள்}
\]
தீர்வைக் குறிக்கும் வெட்டுப் புள்ளியைக் கண்டறிய, கோடுகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவும். இந்த எடுத்துக்காட்டில், தீர்வு \((x, y) = (1.5, 1)\) ஆகும்.
2. பதிலீட்டு முறை
பிரதியீட்டு முறையில், ஒரு சமன்பாட்டில் ஒரு மாறியைத் தீர்த்து, அந்த கோவையை மற்ற சமன்பாட்டில் பிரதியிட வேண்டும்.
படிகள்:
1. சமன்பாடுகளில் ஒன்றை ஒரு மாறிக்காகத் தீர்க்கவும்.
2. இந்தக் கோவையை மற்ற சமன்பாட்டில் பிரதியிடுவதன் மூலம், ஒரே ஒரு மாறியைக் கொண்ட ஒற்றைச் சமன்பாடு கிடைக்கும்.
3. இந்த ஒற்றை மாறி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
4. இரண்டாவது மாறியின் மதிப்பைப் பெறுவதற்கு, படி 1-ல் கண்டறியப்பட்ட கோவையில் பெறப்பட்ட மதிப்பை மீண்டும் பிரதியிடவும்.
உதாரணமாக:
அமைப்பைக் கவனியுங்கள்:
\[
\தொடங்கு{வழக்குகள்}
2x + 3y = 6 \\
4x – y = 5
\முடிவு{வழக்குகள்}
\]
முதல் சமன்பாட்டை \( y \) க்காகத் தீர்க்கவும்:
\[
y = 2 – \frac{2}{3}x
\]
இந்தக் கோவையை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் பிரதியிடவும்:
\[
4x – (2 – \frac{2}{3}x) = 5
\]
சுருக்கி \( x \) -க்குத் தீர்வு காண்க:
\[
4x – 2 + \frac{2}{3}x = 5 \\
\frac{14x}{3} = 7 \\
x = \frac{3}{2}
\]
\( y = 2 – \frac{2}{3}x \) என்பதில் \( x = \frac{3}{2} \) -ஐ மீண்டும் பிரதியிடவும்:
\[
y = 2 – \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 2 – 1 = 1
\]
எனவே, தீர்வு \( (x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \). ஆகும்.
3. நீக்குதல் முறை
நீக்கல் முறையில், ஒரு மாறியை நீக்குவதற்காகச் சமன்பாடுகளைக் கூட்டவோ அல்லது கழிக்கவோ செய்யப்படுகிறது, இதன் மூலம் மீதமுள்ள மாறியின் மதிப்பைக் கண்டறிய முடிகிறது.
படிகள்:
1. ஒன்று அல்லது இரண்டு சமன்பாடுகளையும் ஒரு மாறிலியால் பெருக்கி, மாறிகளில் ஒன்றின் கெழுக்கள் எதிர் எண்ணாக அமையுமாறு செய்யவும்.
2. ஒரு மாறியை நீக்குவதற்கு, சமன்பாடுகளைக் கூட்டவும் அல்லது கழிக்கவும்.
3. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை மீதமுள்ள மாறிகளுக்காகத் தீர்க்கவும்.
4. நீக்கப்பட்ட மாறியின் மதிப்பைக் கண்டறிய, இந்த மதிப்பை அசல் சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் பிரதியிடவும்.
உதாரணமாக:
அமைப்பைக் கவனியுங்கள்:
\[
\தொடங்கு{வழக்குகள்}
2x + 3y = 6 \\
4x – y = 5
\முடிவு{வழக்குகள்}
\]
இரண்டாவது சமன்பாட்டை 3 ஆல் பெருக்கவும்:
\[
4x – y = 5 \\
12x – 3y = 15
\]
திருத்தப்பட்ட இரண்டாவது சமன்பாட்டை முதல் சமன்பாட்டுடன் கூட்டவும்:
\[
2x + 3y + 12x – 3y = 6 + 15 \\
14x = 21 \\
x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}
\]
\( x = \frac{3}{2} \) என்பதை அசல் சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் பிரதியிடவும்:
\[
2 \left(\frac{3}{2}\right) + 3y = 6 \\
3 + 3y = 6 \\
3y = 3 \\
y = 1
\]
எனவே, தீர்வு \( \left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \). ஆகும்.
4. அணி முறை (காஸியன் நீக்கல் மற்றும் நேர்மாறு)
பெரிய அமைப்புகளுக்கு, காஸியன் நீக்கல் அல்லது அணி நேர்மாற்றைப் பயன்படுத்துதல் போன்ற அணி முறைகள் அதிக செயல்திறன் மிக்கதாக இருக்கக்கூடும்.
காஸியன் நீக்கம்:
1. இந்த அமைப்பை ஒரு விரிவாக்கப்பட்ட அணியாக எழுதவும்.
2. அணிவரிசையை வரிசைப் படிநிலை வடிவத்திற்கு மாற்ற, வரிசைச் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தவும்.
3. தீர்வைக் கண்டறிய பின்-பிரதியிடல் முறையைப் பயன்படுத்தவும்.
உதாரணமாக:
அமைப்பு:
\[
\தொடங்கு{வழக்குகள்}
2x + 3y = 6 \\
4x – y = 5
\முடிவு{வழக்குகள்}
\]
விரிவாக்கப்பட்ட அணி:
\[
\தொடங்கு{pmatrix}
2 & 3 & | & 6 \\
4 & -1 & | & 5
\முடிவு{pmatrix}
\]
வரிசைப் படிநிலை வடிவத்திற்கான வரிசைச் செயல்பாடுகள்:
1. \( R2 \leftarrow R2 – 2R1 \):
\[
\தொடங்கு{pmatrix}
2 & 3 & | & 6 \\
0 & -7 & | & -7
\முடிவு{pmatrix}
\]
பின்-மாற்று வீரர்:
\[
-7y = -7 \implies y = 1 \\
2x + 3(1) = 6 \implies 2x =
