வெக்டர்களில் புள்ளி பெருக்கல்

வெக்டர்களில் புள்ளி பெருக்கல்

புள்ளிப் பெருக்கல் (புள்ளிப் பெருக்கல் அல்லது ஸ்கேலார் பெருக்கல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது வெக்டர் கணிதத்தில் உள்ள மிக முக்கியமான செயல்பாடுகளில் ஒன்றாகும். இந்தச் செயல்பாடு இயற்பியல், பொறியியல், புள்ளியியல், கணினி அறிவியல் (எ.கா., இயந்திரக் கற்றல்) மற்றும் கணினி வரைகலை ஆகியவற்றில் அடிக்கடி காணப்படுகிறது. இரண்டு எண்களிலிருந்து ஒரு எண்ணை உருவாக்கும் சாதாரணப் பெருக்கலைப் போலல்லாமல், புள்ளிப் பெருக்கல் இரண்டு வெக்டர்களை உள்ளீடாக எடுத்துக்கொண்டு ஒரு ஸ்கேலாரை (ஒற்றை எண்ணை) உருவாக்குகிறது. புள்ளிப் பெருக்கல் மூலம், இரண்டு வெக்டர்களுக்கு இடையிலான உறவை நாம் புரிந்துகொள்ள முடியும்: அவை ஒரே திசையில் உள்ளனவா, எதிர் திசைகளில் உள்ளனவா அல்லது ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக உள்ளனவா என்பதை அறியலாம்.

புள்ளி பெருக்கலைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

பொதுவாக, a மற்றும் b என்ற இரண்டு வெக்டர்கள் நம்மிடம் இருந்தால், புள்ளிப் பெருக்கல் பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:

அ · ஆ

இதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் ஸ்கேலார் எண், வெக்டர் a ஆனது வெக்டர் b-யின் அதே திசையில் 'எவ்வளவு' உள்ளது என்பதைப் பிரதிபலிக்கிறது. இந்தக் கருத்தைப் பின்வரும் படத்தின் மூலம் புரிந்துகொள்ளலாம்: நாம் வெக்டர் a-ஐ வெக்டர் b-யின் மீது படியவைக்கும்போது, ​​a-யின் கூறு b-யின் திசையில் எவ்வளவு தூரம் 'பின்தொடர்கிறது' என்பதை அளவிடுகிறோம். இரண்டு வெக்டர்கள் ஒரே திசையில் எவ்வளவு அதிகமாக இருக்கின்றனவோ, அவ்வளவு அதிகமாக அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல் இருக்கும்; அவை எவ்வளவு எதிர் திசையில் இருக்கின்றனவோ, அவ்வளவு குறைவாக (எதிர்மறையாகவும் கூட) அவற்றின் பெருக்கல் இருக்கும்; மேலும் அவை செங்குத்தாக இருந்தால், புள்ளிப் பெருக்கல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

கூறுகளின் அடிப்படையில் புள்ளி பெருக்கல் சூத்திரம்

ஒரு இரு பரிமாண திசையன் இருப்பதாகக் கொள்வோம்:

a = (a₁, a₂)
b = (b₁, b₂)

ஆகவே புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது:

a · b = a₁b₁ + a₂b₂

முப்பரிமாண திசையன்களுக்கு:

a = (a₁, a₂, a₃)
b = (b₁, b₂, b₃)

ஆகவே:

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

மேலும் பொதுவாக, ஒரு n-பரிமாண திசையனுக்கு:

i = 1 முதல் n வரை, a · b = Σ (aᵢ bᵢ) ஆகும்.

இந்த சூத்திரம் எளிமையானது, ஆனாலும் சக்தி வாய்ந்தது. நாம் ஒத்த உறுப்புகளைப் பெருக்கி, பின்னர் அவற்றை ஒன்றாகக் கூட்டுகிறோம். இதனால்தான் கணினித்துறையில் புள்ளிப் பெருக்கல் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது: இதைச் செயல்படுத்துவது எளிது மற்றும் இது செயல்திறன் மிக்கது.

திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்துடன் கூடிய புள்ளி பெருக்கல் சூத்திரம்

கூறுகளுக்குக் கூடுதலாக, புள்ளிப் பெருக்கத்தை கோண (வடிவியல்) வடிவத்திலும் வெளிப்படுத்தலாம். a மற்றும் b ஆகிய வெக்டர்களுக்கு இடையேயான கோணம் θ எனில்:

a · b = |a| |b| cos(θ)

தகவல்:
– |a| என்பது வெக்டர் a-வின் நீளம் (பருமன்) ஆகும்.
– |b| என்பது b என்ற திசையனின் நீளம் ஆகும்.
– cos(θ) என்பது இரண்டு வெக்டர்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைன் ஆகும்.

இந்த சூத்திரம் வடிவியல் அர்த்தத்தை வலியுறுத்துகிறது: புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது இரண்டு வெக்டர்களின் திசைகளின் "சீரமைப்பை" அளவிடுகிறது. θ சிறியதாக (0°க்கு அருகில்) இருக்கும்போது, ​​cos(θ) ஆனது 1க்கு அருகில் இருக்கும், எனவே புள்ளிப் பெருக்கல் பெரியதாகவும் நேர்மறையாகவும் இருக்கும். θ = 90° ஆக இருக்கும்போது, ​​cos(90°)=0, எனவே புள்ளிப் பெருக்கல் பூஜ்ஜியமாகும். θ > 90° ஆக இருக்கும்போது, ​​cos(θ) எதிர்மறையாக இருக்கும், எனவே புள்ளிப் பெருக்கல் எதிர்மறையாக இருக்கும்.

புள்ளிப் பெருக்கல் கணக்கீட்டு எடுத்துக்காட்டு

எடுத்துக்காட்டு 1 (2D வெக்டர்)
உதாரணமாக:
– a = (2, 3)
– b = (4, -1)

ஆகவே:
a b = 2·4 + 3·(-1) = 8 – 3 = 5

இதன் விளைவு 5 (ஸ்கேலார்) ஆகும். இதன் பொருள், கூறுகளில் ஒன்று எதிர் திசையில் இருந்தாலும், ஒட்டுமொத்தமாக, வெக்டர் a-வின் திசையானது b-யின் திசையைப் போன்றே ஒரு கூறைக் கொண்டுள்ளது என்பதாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 2 (செங்குத்து)
உதாரணமாக:
– a = (1, 2)
– b = (2, -1)

புள்ளி:
a b = 1·2 + 2·(-1) = 2 – 2 = 0

புள்ளிப் பெருக்கல் 0 ஆக இருப்பதால், இரு வெக்டர்களும் செங்குத்தாக (ஆர்த்தோகனல்) இருக்கும்.

புள்ளி பெருக்கலின் பண்புகள்

புள்ளிப் பெருக்கலுக்குப் பல முக்கியமான பண்புகள் உள்ளன:

1. பரிமாற்றுப் பண்பு
a · b = b · a

2. கூட்டலுக்குப் பங்கீட்டு முறை
a · (b + c) = a · b + a · c

3. திசையிலிப் பெருக்கலுடன் சேர்மானப் பண்பு
ஸ்கேலார் k-க்கு (ka) · b = k (a · b)

4. பூஜ்ஜிய திசையனுடன் புள்ளிப் பெருக்கல்
a · 0 = 0

5. திசையன் நீளத்துடனான தொடர்பு
a · a = |a|²
இது மிகவும் பயனுள்ளது, ஏனென்றால் இதிலிருந்து நாம் திசையனின் நீளத்தைப் பெறலாம்:
|a| = √(a · a)

இந்தப் பண்புகள், புள்ளிப் பெருக்கத்தை நேரியல் இயற்கணிதத்தில் பல மேம்பட்ட கருத்துகளின் அடிப்படையில் அமைந்த ஒரு அடிப்படைச் செயல்பாடாக ஆக்குகின்றன.

வடிவியல் பொருள் மற்றும் விளக்கம்

புள்ளிப் பெருக்கத்தை வீழலின் அளவாகக் கருதலாம். b திசையனின் திசையின் மீது a திசையனின் வீழலை நாம் அறிய விரும்பினால், புள்ளிப் பெருக்கத்தைப் பயன்படுத்தலாம். b இருக்கும் அதே திசையில் உள்ள a திசையனின் கூறினைப் பின்வரும் சமன்பாட்டின் மூலம் அளவறிந்து பெறலாம்:

a-இலிருந்து b-க்கு ஆன திசையிலி வீழல்:
comp_b(a) = (a · b) / |b|

a என்ற திசையனை b-க்கு வீழுதல்:
proj_b(a) = ((a · b) / |b|²) b

உதாரணமாக, ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் ஒரு விசையின் நிழலைக் கணக்கிடும்போதும் அல்லது இயக்கத்தை கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்துக் கூறுகளாகப் பிரிக்கும்போதும் இந்த விளக்கம் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது.

வாழ்க்கை மற்றும் அறிவியலில் புள்ளி பெருக்கலின் பயன்பாடுகள்

1. இயற்பியல் (வேலை மற்றும் ஆற்றல்)
இயற்பியலில், ஒரு விசையால் செய்யப்படும் வேலை பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
W = F · s = |F||s|cos(θ)
இதில் F என்பது விசை மற்றும் s என்பது இடப்பெயர்வு. விசையானது இடப்பெயர்வின் அதே திசையில் இருந்தால், செய்யப்பட்ட வேலை நேர்மறையானது; அது எதிர் திசையில் இருந்தால், செய்யப்பட்ட வேலை எதிர்மறையானது; அது செங்குத்தாக இருந்தால் (எ.கா., ஒரு தளத்தின் மீதான செங்குத்து விசை), செய்யப்பட்ட வேலை சுழியாகும்.

2. திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறிதல்
a · b, |a|, மற்றும் |b| ஆகியவை நமக்குத் தெரிந்தால், கோணம் θ-வைக் கணக்கிடலாம்:
cos(θ) = (a · b) / (|a||b|)
பின்னர் நேர்மாறு கொசைன் (ஆர்க்கோஸ்) சார்பைப் பயன்படுத்தி θ-வைப் பெறலாம்.

3. இயந்திரக் கற்றல் மற்றும் தரவு அறிவியல்
இரண்டு அம்சத் திசையன்களுக்கு இடையேயான மதிப்பெண் அல்லது ஒற்றுமையைக் கணக்கிட புள்ளிப் பெருக்கல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நேரியல் மாதிரிகளில், கணிப்பு பெரும்பாலும் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:
y = w · x + b
இதில் w என்பது எடை மற்றும் x என்பது உள்ளீட்டுத் திசையன் ஆகும். இங்குள்ள புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது முடிவெடுக்கும் பொறிமுறையின் மையமாகும்.

4. கணினி வரைகலை (ஒளியமைப்பு)
முப்பரிமாண ரெண்டரிங்கில், ஒரு பரப்பின் மீதான ஒளிச்செறிவைத் தீர்மானிக்க புள்ளிப் பெருக்கல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. செறிவு பெரும்பாலும், ஒளியின் திசைக்கும் பரப்பின் செங்குத்துக் கோட்டிற்கும் இடையிலான கோணத்தின் கொசைனைச் சார்ந்துள்ளது. புள்ளிப் பெருக்கலைக் கொண்டு, கணக்கீடு பின்வருமாறு அமைகிறது:
I ∝ n · l
இதில் n என்பது மேற்பரப்பின் செங்குத்துக்கோடு மற்றும் l என்பது ஒளியின் திசை (பொதுவாக இயல்பாக்கப்பட்டது).

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

புள்ளிப் பெருக்கங்களைக் கற்கும் போது செய்யப்படும் சில பொதுவான தவறுகள்:

புள்ளிப் பெருக்கத்தின் முடிவு ஒரு திசையன் என்று நினைப்பது (ஆனால் அது உண்மையில் ஒரு அளவெண் ஆகும்).
– தவறான பாகப் பொருத்தம் (இணக்கமான பாகங்களாக இருக்க வேண்டும்).
புள்ளிப் பெருக்கல் எதிர்மறையாகவும் வரலாம் என்பதை மறந்துவிட்டேன்.
பயன்படுத்தப்படும் திசையனும் கணக்கிடப்பட்ட எண் மதிப்பும் சரியானவை என்பதை உறுதி செய்யாமல் கோண சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல்.
– பூஜ்ஜியப் புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது செங்குத்தானது என்ற தவறான புரிதல் (இது உண்மைதான், ஆனால் இரண்டு வெக்டர்களும் பூஜ்ஜிய வெக்டர்களாக இல்லாத பட்சத்தில் மட்டுமே).

மூடுகிறது

திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது இயற்கணிதத்தையும் வடிவவியலையும் இணைக்கும் ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும். புள்ளிப் பெருக்கலைக் கொண்டு, நாம் இரண்டு திசையன்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவது மட்டுமல்லாமல், அவற்றுக்கிடையேயான திசை உறவையும் புரிந்துகொள்ள முடியும்: அதாவது, அவை ஒரே திசையில் உள்ளனவா, எதிர் திசைகளில் உள்ளனவா, அல்லது செங்குத்தாக உள்ளனவா என்பதை அறியலாம். அதன் எளிய சூத்திரம், கைமுறைக் கணக்கீடுகள் மற்றும் பெரிய அளவிலான கணக்கீடுகள் ஆகிய இரண்டிலும் இதைப் பயன்படுத்துவதை எளிதாக்குகிறது. இயற்பியல் மற்றும் தரவுப் பகுப்பாய்வு முதல் கணினி வரைகலை வரை பல்வேறு துறைகளில் இதற்கு எண்ணற்ற பயன்பாடுகள் இருப்பதால், திசையன் கணிதம் மற்றும் நேரியல் இயற்கணிதம் பயிலும் எவருக்கும் புள்ளிப் பெருக்கலைப் புரிந்துகொள்வது ஒரு அத்தியாவசியமான படியாகும்.

நீங்கள் விரும்பினால், நான் விளக்கப்படங்கள், விளக்கங்களுடன் கூடிய பயிற்சிக் கேள்விகள் அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட பயன்பாட்டில் (இயற்பியல், இயந்திரக் கற்றல் அல்லது வடிவியல்) அதிக கவனம் செலுத்தும் கட்டுரையின் ஒரு பதிப்பையும் சேர்க்க முடியும்.