விகிதமுறு மற்றும் விகிதமுறா எண்கள்

விகிதமுறு மற்றும் விகிதமுறா எண்கள்: கணிதத்தின் ஒரு அடிப்படைப் புரிதல்

கணிதம் என்பது, உலகத்தைப் பற்றிய நமது புரிதலுக்கு அடிப்படையாக அமையும் கருத்துக்களும் கோட்பாடுகளும் நிறைந்த ஒரு அறிவியல் ஆகும். கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துக்களில் ஒன்று எண் ஆகும், இது பல்வேறு வகைகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்தக் கட்டுரையில், விகித எண்கள் மற்றும் விகிதமுறா எண்கள் என இரண்டு முக்கியமான எண் வகைகளைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

விகிதமுறு எண்கள்: வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

விகிதமுறு எண் என்பது இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாக வெளிப்படுத்தக்கூடிய ஒரு எண் ஆகும். வேறுவிதமாகக் கூறினால், விகிதமுறு எண் என்பது \(\frac{a}{b}\) என்ற பின்னமாக எழுதக்கூடிய ஒரு எண் ஆகும், இதில் \(a\) மற்றும் \(b\) ஆகியவை முழு எண்கள், மற்றும் \(b\) பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்காது. இந்த வடிவம், விகிதமுறு எண்களைப் பல்வேறு கணிதச் செயல்பாடுகளில் எளிதாகப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{5}{3}\), மற்றும் \(-\frac{4}{7}\) ஆகிய அனைத்தும் விகிதமுறு எண்கள் ஆகும். 3 அல்லது -5 போன்ற முழு எண்கள்கூட விகிதமுறு எண்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும், ஏனெனில் அவற்றை \(\frac{3}{1}\) அல்லது \(\frac{-5}{1}\) என எழுதலாம்.

விகித எண்களின் பண்புகள்

1. அடர்த்தி: விகித எண்கள் மிகவும் அடர்த்தியானவை, அதாவது எந்த இரண்டு விகித எண்களுக்கும் இடையில் எப்போதும் மற்றொரு விகித எண் இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, 0 மற்றும் 1-க்கு இடையில், நாம் \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\) மற்றும் பலவற்றைக் காணலாம். இது விகித எண்களுக்கு இடையில் 'இடைவெளிகள்' அல்லது வரையறுக்கப்படாத தூரங்கள் இல்லை என்பதைக் காட்டுகிறது.
2. கணிதச் செயல்பாடுகள்: விகித எண்கள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் (பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் தவிர) ஆகியவற்றுக்கு உட்பட்டவை. எடுத்துக்காட்டாக, \(a\) மற்றும் \(b\) ஆகியவை விகித எண்கள் எனில், \(a + b\), \(a – b\), \(a \cdot b\), மற்றும் \(\frac{a}{b}\) ஆகியவையும் விகித எண்களாகவே இருக்கும் (வகுத்தலுக்கு \(b \neq 0\) என்ற நிபந்தனையுடன்).
3. தசம விரிவாக்கம்: விகித எண்களை மீண்டும் மீண்டும் வரும் அல்லது முடிவுறும் தசமமாக வெளிப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, \(\frac{1}{2} = 0.5\) (முடிவுறும் தசம விரிவாக்கம்) மற்றும் \(\frac{1}{3} = 0.333…\) (முடிவுறும் தசம விரிவாக்கம்).

விகிதமுறா எண்கள்: விளக்கம் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

விகிதமுறு எண்களைப் போலல்லாமல், விகிதமுறா எண்கள் என்பவை இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாக வெளிப்படுத்த முடியாத எண்கள் ஆகும். விகிதமுறா எண்களை, \(a\) மற்றும் \(b\) ஆகியவை முழு எண்களாகவும் \(b \neq 0\) எனவும் இருக்கும்போது, ​​\(\frac{a}{b}\) என்ற பின்னமாக எழுத முடியாது. மாறாக, அவை ஒருபோதும் முடிவடையாத மற்றும் ஒருபோதும் சீராக மீண்டும் மீண்டும் வராத தசம விரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன.

விகிதமுறா எண்களுக்குப் பிரபலமான எடுத்துக்காட்டுகள் \(\pi\) (பை) மற்றும் \(\sqrt{2}\) (2-இன் வர்க்கமூலம்) ஆகும். \(\pi\)-இன் மதிப்பு தோராயமாக 3.14159… ஆகும், மேலும் அதன் தசமங்கள் மீண்டும் மீண்டும் வரும் வடிவமின்றித் தொடர்கின்றன. இதேபோல், \(\sqrt{2}\)-இன் மதிப்பு தோராயமாக 1.41421… ஆகும், மேலும் அதன் தசமங்களும் மீண்டும் மீண்டும் வரும் வடிவமின்றித் தொடர்கின்றன.

விகிதமுறா எண்களின் பண்புகள்

1. முடிவற்ற தசம விரிவாக்கம்: விகிதமுறா எண்கள், ஒருபோதும் முடிவடையாத மற்றும் மீண்டும் மீண்டும் வராத முடிவற்ற தசம விரிவாக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, \(\pi\) என்ற எண், மீண்டும் மீண்டும் வரும் அமைப்பு இல்லாத முடிவற்ற தசம விரிவாக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது.
2. பின்னமாக எழுத இயலாது: ஒரு விகிதமுறா எண்ணை \(\frac{a}{b}\) என்ற பின்னமாக எழுத வழியில்லை, இங்கு \(a\) மற்றும் \(b\) ஆகியவை முழு எண்கள், மற்றும் \(b \neq 0\). இதுவே விகிதமுறா எண்களை விகிதமுறு எண்களிலிருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டும் பண்பாகும்.
3. அடர்த்தி: விகித எண்களைப் போலவே, விகிதமுறா எண்களும் மிகவும் அடர்த்தியானவை. எந்த இரண்டு விகிதமுறா எண்களுக்கும் இடையில் மற்றொரு விகிதமுறா எண் இருக்கும்.

விகிதமுறு மற்றும் விகிதமுறா எண்களுக்கு இடையிலான தொடர்பு

விகிதமுறு மற்றும் விகிதமுறா எண்கள் இரண்டு வெவ்வேறான கணங்களாக இருந்தாலும், அவை இரண்டும் சேர்ந்து முழு மெய் எண் கோட்டையும் உருவாக்குகின்றன. மெய் எண் கோட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகவோ அல்லது ஒரு விகிதமுறா எண்ணாகவோ இருக்கும். இது மெய் எண்களை (விகிதமுறு மற்றும் விகிதமுறா எண்களின் சேர்க்கை) மிகவும் அடர்த்தியானதாகவும் தொடர்ச்சியானதாகவும் ஆக்குகிறது.

சுவாரஸ்யமாக, விகிதமுறு எண்கள் முடிவற்றவை என்றாலும், அவை உண்மையில் விகிதமுறா எண்களை விட அரிதானவை. கணக் கோட்பாட்டின்படி, விகிதமுறா எண்கள், விகிதமுறு எண்களை விட அதிக எண்ணிக்கையைக் (எண்ணிக்கையை) கொண்டுள்ளன.

கணிதம் மற்றும் அறிவியலில் முக்கியத்துவம்

விகிதமுறு மற்றும் விகிதமுறா எண்கள் கணிதம் மற்றும் அறிவியலின் பல்வேறு துறைகளில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. விகிதமுறு எண்கள் அன்றாடக் கணக்கீடுகளிலும், புள்ளியியல், பொருளாதாரம் மற்றும் பொறியியல் போன்ற பயன்பாடுகளிலும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பின்னங்கள் மற்றும் சதவீதங்கள் சம்பந்தப்பட்ட கணக்கீடுகளைச் செய்ய அவை நமக்கு உதவுகின்றன.

மறுபுறம், விகிதமுறா எண்கள் வடிவியல், முக்கோணவியல் மற்றும் பகுப்பாய்வில் ஒரு சிறப்புப் பங்கைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, மாறிலி \(\pi\) என்பது வட்டங்கள் சம்பந்தப்பட்ட பல வடிவியல் கணக்கீடுகளில் தோன்றும் ஒரு விகிதமுறா எண் ஆகும். இதேபோல், விகிதமுறா எண்ணான \(e\) (தோராயமாக 2.718) என்ற மாறிலியும் நுண்கணிதம் மற்றும் அடுக்கு வளர்ச்சிக் கோட்பாட்டில் ஒரு முக்கியப் பங்கை வகிக்கிறது.

முடிவுரை

விகிதமுறு மற்றும் விகிதமுறா எண்களைப் புரிந்துகொள்வது கணிதத்தில் ஒரு முக்கியமான அடித்தளமாகும். விகிதமுறு எண்களைப் பின்னங்களாக எழுத முடியும், மேலும் அவை முடிவுறும் அல்லது மீண்டும் மீண்டும் வரும் தசம விரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால், விகிதமுறா எண்களைப் பின்னங்களாக எழுத முடியாது, மேலும் அவை முடிவுறாத மற்றும் மீண்டும் மீண்டும் வராத தசம விரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன.

இந்த இருவகை எண்களும் வெவ்வேறானவையாக இருந்தாலும், அவை இணைந்து ஒரு தொடர்ச்சியான மற்றும் செறிவான மெய் எண் கோட்டை உருவாக்குகின்றன. அவை கணிதம் மற்றும் அறிவியலின் பல்வேறு துறைகளில் முக்கியப் பங்கு வகிப்பதுடன், மேலும் பல சிக்கலான கருத்துகளுக்கும் கோட்பாடுகளுக்கும் அடிப்படையாகவும் அமைகின்றன.

விகிதமுறு மற்றும் விகிதமுறா எண்கள் பற்றிய ஆழமான புரிதலுடன், நாம் கணித உலகத்தை மேலும் ஆராய்ந்து, இவ்விஞ்ஞானம் வழங்கும் பிரபஞ்சத்தின் அழகையும் சிக்கலான தன்மையையும் அனுபவித்து மகிழலாம்.