உள்ளிடு, மேல்வெளி மற்றும் இருபுறச் சார்புகள்

உள்ளிடு, மேல்வெளி மற்றும் இருபுறச் சார்புகள்

கணிதத்தில், குறிப்பாக சார்புக் கோட்பாட்டில், அடிக்கடி விவாதிக்கப்படும் மூன்று முக்கியமான சார்பு வகைகள் உள்ளன: உள்ளிடு சார்பு, வெளிவிடு சார்பு மற்றும் இருபுறச் சார்பு. இந்த மூன்று வகை சார்புகளில் ஒவ்வொன்றும், மூலக் கணத்தில் (களம்) உள்ள கூறுகள், இலக்குக் கணத்தில் (வீச்சு அல்லது இணைக்களத்தில்) உள்ள கூறுகளுடன் எவ்வாறு தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன என்பதைத் தீர்மானிக்கும் தனித்துவமான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. இந்தக் கட்டுரை, இந்த ஒவ்வொரு சார்புகளின் வரையறை, பண்புகள், எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பல்வேறு துறைகளில் அவற்றின் பயன்பாடுகளை விவரிக்கும்.

ஊசிச் செயல்பாடு

ஒரு உள்ளிடு சார்பு, ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது மூலக் கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் சேருமிடக் கணத்தில் உள்ள ஒரு தனித்துவமான உறுப்புடன் இணைக்கப்படும் ஒரு சார்பாகும். முறையான வடிவத்தில், ஒரு சார்பு \( f : A \to B \) உள்ளிடு சார்பு என அழைக்கப்படுவதற்கு, ஒவ்வொரு \( a_1, a_2 \in A \) க்கும், \( f(a_1) = f(a_2) \) என்பது \( a_1 = a_2 \) என்பதை உணர்த்தினால் மட்டுமே போதுமானது.

இன்னும் எளிமையாகச் சொல்வதானால், ஒரு உள்ளிடு சார்பு, மூலத் தொகுப்பில் உள்ள எந்த இரண்டு வெவ்வேறான கூறுகளுக்கும் இலக்குத் தொகுப்பில் ஒரே பிம்பம் இல்லை என்பதை உறுதி செய்கிறது. வேறுவிதமாகக் கூறினால், இலக்குத் தொகுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு கூறுக்கும், அதனுடன் பொருந்துகின்ற ஒரே ஒரு மூலக் கூறு மட்டுமே இருக்கும்.

குறிப்பு:
– \( f(x) = 2x + 3 \) என வரையறுக்கப்பட்ட \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) என்ற சார்பைக் கருதுவோம். இந்தச் சார்பு உள்ளிடு சார்பு ஆகும், ஏனெனில் \( f(a) = f(b) \) எனில், \( 2a + 3 = 2b + 3 \), இது \( a = b \) என்பதை உணர்த்துகிறது.

அப்ளிகாசி:
குறியிடல் அல்லது குறியீடாக்கம் போன்ற, நகல் உருவாக்கம் இல்லை என்பதை உறுதிசெய்ய வேண்டிய சூழல்களில் உள்ளீட்டுச் சார்புகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

முழுநிற சார்பு

ஒரு முழுமைச் சார்பு அல்லது மேலுறைச் சார்பு என்பது, சேருமிடக் கணம் \( B \)-இல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும், மூலக் கணம் \( A \)-இலிருந்து குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பாவது பொருந்தி வரும் ஒரு சார்பாகும். முறைசார்ந்த குறியீட்டில், ஒரு சார்பு \( f : A \to B \) முழுமைச் சார்பு என அழைக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொரு \( b \in B \)-க்கும், \( f(a) = b \) என அமையும்படி குறைந்தபட்சம் ஒரு \( a \in A \) இருக்குமானால்.

வேறுவிதமாகக் கூறினால், முழுமையாக்கும் சார்பானது, மூலக் கணத்தின் பிம்பத்தால் சேருமிடக் கணம் முழுமையாக உள்ளடக்கப்படுவதை உறுதி செய்கிறது. சேருமிடக் கணத்தில் உள்ள எந்த உறுப்பும் "உள்ளடக்கப்படவில்லை".

குறிப்பு:
– \( f(x) = x^3 \) என வரையறுக்கப்பட்ட \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) என்ற சார்பைக் கருதுவோம். இந்தச் சார்பு ஒரு முழுமைச் சார்பாகும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு \( y \in \mathbb{R} \) க்கும், \( x^3 = y \) என அமையும் \( x \in \mathbb{R} \) ஐ நம்மால் காண முடியும்.

அப்ளிகாசி:
வளங்களைப் பகிர்ந்தளித்தல் அல்லது ஒதுக்கீடு செய்தல் போன்ற சூழல்களில், ஒவ்வொரு பெறுநரும் வழங்குபவர்களின் தொகுப்பிலிருந்து ஏதேனும் ஒன்றைப் பெறுவதை நாம் உறுதிசெய்ய வேண்டியிருப்பதால், முழுமைப் புறவயச் சார்புகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

இருவழிச் சார்பு

ஒரு இருபுறச் சார்பு என்பது உள்ளிடு மற்றும் வெளிவிடு ஆகிய இரண்டு பண்புகளையும் கொண்ட ஒரு சார்பாகும். வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு இருபுறச் சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று மற்றும் முழுமைப் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, ஒரு இருபுறச் சார்பில், மூலக் கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் சேருமிடக் கணத்தில் உள்ள ஓர் உறுப்புடன் தனித்துவமாகப் பொருத்தப்படுகிறது; இதற்கு நேர்மாறாக, சேருமிடக் கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் மூலக் கணத்திலிருந்து சரியாக ஒரே ஒரு உறுப்பு மட்டுமே பொருத்தப்படுகிறது.

குறிப்பு:
– \( f(x) = x + 1 \) என வரையறுக்கப்பட்ட \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) என்ற சார்பைக் கருதுக. இந்தச் சார்பு இருபுறச் சார்பாகும், ஏனெனில்:
– உள்ளிடு சார்பு: \( f(a) = f(b) \) எனில், \( a + 1 = b + 1 \) என்பது \( a = b \) என்பதை உணர்த்துகிறது.
– முழுமைப் புறவகுப்பு: ஒவ்வொரு \( y \in \mathbb{R} \) க்கும், \( f(x) = y \) என அமையும்படி \( x = y – 1 \) ஐ நாம் காணலாம்.

அப்ளிகாசி:
ஒரு கணத்திலிருந்து மற்றொரு கணத்திற்கு வரைபடமாக்கும்போது, ​​உறுப்புகளுக்கு இடையேயான கட்டமைப்பையோ அல்லது உறவுகளையோ நாம் பாதுகாக்க வேண்டியிருப்பதால், உருமாற்றங்கள் மற்றும் சமவடிவங்களின் சூழலில் இருபுறச் சார்புகள் குறிப்பாக முக்கியமானவை. எடுத்துக்காட்டாக, மறைகுறியாக்கவியலில், செய்திகளைத் தனித்துவமாக மறைகுறியாக்கவும் மறைகுறியாக்கம் செய்யவும், குறியாக்க மற்றும் மறைகுறியாக்க நீக்கத் திறவுகோல்கள் பெரும்பாலும் இருபுறச் சார்புகளாகவே உள்ளன.

மேலதிக பகுப்பாய்வு

வரைபடங்கள் மற்றும் விளக்கப்படங்கள்
இந்தச் சார்புகளைப் புரிந்துகொள்ள வென் வரைபடம் அல்லது வரைவியைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் உதவியாக இருக்கும். ஒரு வென் வரைபடத்தில், சேருமிடக் கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதிகபட்சமாக ஒரே ஒரு உள்வரும் அம்பைக் கொண்டிருப்பதன் மூலம் ஓர் உள்ளிடு சார்பைச் சித்தரிக்கலாம். சேருமிடக் கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் குறைந்தபட்சம் ஒரு உள்வரும் அம்பைக் கொண்டிருப்பதன் மூலம் ஓர் வெளிவிடு சார்பைச் சித்தரிக்கலாம். ஓர் இருபுறச் சார்பில், மூல மற்றும் சேருமிடக் கணங்களில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் சரியாக ஒரே ஒரு உள்வரும் அம்பைக் கொண்டிருக்கும், இது ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்பை உருவாக்குகிறது.

நேர்மாறு சார்பு
உள்ளிடு, வெளிப்படு மற்றும் இருபுறச் சார்புகளின் சூழலில் அடிக்கடி ஆய்வு செய்யப்படும் மற்றொரு முக்கியமான அம்சம் நேர்மாறுச் சார்பு ஆகும்.
ஒரு உள்ளிடு சார்புக்கு எப்போதும் ஒரு இடது நேர்மாறு சார்பு இருக்கும்.
ஒரு முழுமைப் புறவமைப்புச் சார்புக்கு எப்போதுமே ஒரு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு.
ஒரு இருபுறச் சார்புக்கு எப்போதும் ஒரு தனித்துவமான நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு.

ஒரு சார்பு இருபுறச் சார்பாக இருந்தால், அதற்கு இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுகள் இரண்டும் இருக்கும், மேலும் அவை இரண்டும் சமமாக இருந்து, மெய் நேர்மாறுச் சார்பை உருவாக்கும்.

மூடுகிறது

உள்ளிடு சார்பு, வெளிப்படு சார்பு மற்றும் இருபுறச் சார்பு ஆகியவற்றின் கருத்துக்களைப் புரிந்துகொள்வது, கணிதத்தின் பல பிரிவுகளுக்கும் அவற்றின் நடைமுறைப் பயன்பாடுகளுக்கும் அடிப்படையானதாகும். உள்ளிடு சார்புகள் இரட்டிப்பு ஏற்படாமல் இருப்பதை உறுதி செய்கின்றன; வெளிப்படு சார்புகள் முழுமையான உள்ளடக்கத்தையும், இருபுறச் சார்புகள் இரண்டு கணங்களில் உள்ள உறுப்புகளுக்கு இடையே ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்பையும் உறுதி செய்கின்றன. இந்த மூன்று வகையான சார்புகளைப் பற்றிய அறிவு, தூய கணிதத்தில் மட்டுமல்லாமல், கணினி அறிவியல், பொருளாதாரம் மற்றும் பொறியியல் போன்ற துறைகளிலும் முக்கியமானது. இந்தச் சார்புகளின் செயல்பாடுகள் மற்றும் பயன்பாடுகளை முழுமையாகப் புரிந்துகொள்வது, மேலும் திறம்பட்ட மற்றும் செயல்திறன்மிக்க பகுப்பாய்வு மற்றும் சிக்கல் தீர்க்கும் முறைக்கு வழிவகுக்கும்.