செயல்பாடுகள் மற்றும் செயல்பாடற்றவை

சார்புகள் மற்றும் சார்பற்றவை: கணிதத்தில் உள்ள கருத்துகளைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

கணிதத்தில், ஆழமான புரிதல் தேவைப்படும் நுண்மையான கருத்துக்களை நாம் அடிக்கடி எதிர்கொள்கிறோம். அத்தகைய ஒரு அடிப்படை மற்றும் முக்கியமான கருத்துதான் 'சார்பு' (function). இந்தக் கருத்து கணிதத்தில் மட்டுமல்லாமல், இயற்பியல், கணினி அறிவியல் மற்றும் பொருளாதாரம் போன்ற பல்வேறு துறைகளிலும் காணப்படுகிறது. இருப்பினும், சார்புகளுக்கும் சார்பற்றவைகளுக்கும் இடையே வேறுபடுத்திக் காட்டும்போது அடிக்கடி குழப்பம் ஏற்படுகிறது. இந்தக் கட்டுரை, சார்பு என்றால் என்ன, அதன் பண்புகள் மற்றும் அதை சார்பற்றவைகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுத்துவது என்பது பற்றி விரிவாக விவாதிக்கும்.

சார்பு என்றால் என்ன?

எளிமையாகச் சொல்வதானால், ஒரு சார்பு என்பது ஒரு கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும் மற்றொரு கணத்தில் உள்ள ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே தொடர்புபடுத்தும் ஒரு உறவாகும். அதன் முறையான வரையறையைப் பார்ப்போம்:

செயல்பாட்டின் முறையான வரையறை:
A என்ற கணத்திலிருந்து B என்ற கணத்திற்குச் செல்லும் சார்பு f என்பது, A-இல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும் B-இல் உள்ள ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே தொடர்புபடுத்தும் ஒரு விதியாகும். இது \( f : A \rightarrow B \) என எழுதப்படுகிறது.

வேறுவிதமாகக் கூறினால், கணம் A-இல் இரண்டு வெவ்வேறு உறுப்புகள் இருந்தால், அவை கணம் B-இல் உள்ள ஒரே உறுப்புடன் தொடர்புடையதாக இருக்கக்கூடாது.

ஒரு சார்புக்கான எளிய உதாரணம், ஒரு நபரின் உடல் வெப்பநிலை (களம்/கணம் A) மற்றும் அதன் செல்சியஸ் பாகை அளவீடு (வீச்சு/கணம் B) ஆகும். ஒவ்வொரு நபரும் ஒரு தனிப்பட்ட உடல் வெப்பநிலை மதிப்புடன் தொடர்புடையவர். எனவே, இந்த ஒப்புமையில், சார்பானது தனிநபர்களை (களக் கூறுகள்) உடல் வெப்பநிலை மதிப்புகளுடன் (துணைக்களக் கூறுகள்) தொடர்புபடுத்துகிறது.

செயல்பாட்டு பண்புகள்

இந்தக் கருத்தைப் புரிந்துகொள்வதில், ஒரு தொடர்பு ஒரு சார்பாகக் கருதப்படுவதற்கு அது பூர்த்தி செய்ய வேண்டிய பல குறிப்பிட்ட பண்புகள் உள்ளன:

1. கணங்களுக்கு இடையேயான தொடர்புகள்:
ஒரு சார்பு, ஆட்களத்தில் (மூலக் கணம்) உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும், துணை ஆட்களத்தில் (இலக்குக் கணம்) உள்ள ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே தொடர்புபடுத்த வேண்டும். ஆட்களத்தில் உள்ள ஒரு உறுப்பு, துணை ஆட்களத்தில் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட உறுப்புகளுடன் தொடர்புபடுத்தப்பட்டிருந்தால், அது ஒரு சார்பு அல்ல.

2. ஒருமைப்பாடு:
ஆட்களத்தில் உள்ள ஒரு உறுப்பு, துணை ஆட்களத்தில் ஒரே ஒரு மதிப்புடன் மட்டுமே தொடர்புபடுத்தப்பட முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, f(a) = 3 மற்றும் f(a) = 5 ஒரே நேரத்தில் எனில், f ஒரு சார்பு அல்ல.

3. டொமைன் காலியாக இல்லை:
ஒரு சார்பில், ஆட்களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் துணை ஆட்களத்தில் ஒரு இணை உறுப்பு இருக்க வேண்டும்; அதாவது, ஆட்களம் காலியாக இருக்க முடியாது.

ஒரு செயல்பாடு அல்ல

மேற்கண்ட மூன்று பண்புகளையும் பூர்த்தி செய்யாத ஒரு தொடர்பு, சார்பற்ற தொடர்பு (non-function) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதை மேலும் புரிந்துகொள்ள, சில உறுதியான எடுத்துக்காட்டுகளை ஆராய்வோம்.

1. ஆட்களத்தில் உள்ள ஒரு உறுப்பு, துணை ஆட்களத்தில் உள்ள ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட உறுப்புகளுடன் தொடர்புடையது:
உதாரணமாக, மாணவர்கள் (களம்) அவர்களின் தேர்வு மதிப்பெண்களுடன் (துணைக்களம்) தொடர்புடைய ஒரு உறவு இருப்பதாகக் கற்பனை செய்து கொள்வோம். ஒரு மாணவர் ஒரே தேர்வில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மதிப்பெண்களைப் பெற முடிந்தால் (எ.கா., ஒரே தேர்வில் 75 மற்றும் 90), இந்த உறவு ஒரு சார்பு அல்ல.

2. எல்லா டொமைன் கூறுகளுக்கும் ஒரு ஜோடி இருப்பதில்லை:
முன்னர் குறிப்பிட்டபடி, ஒரு சார்பில், ஆட்களத்தின் அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் துணை ஆட்களத்தில் ஒரு இணை உறுப்பு இருக்க வேண்டும். ஏதேனும் ஒரு உறுப்புக்கு இணை உறுப்பு இல்லையென்றால், அந்த உறவு ஒரு சார்பு அல்ல.

செயல்பாட்டைப் புரிந்துகொள்வது ஏன் முக்கியம்?

இந்தச் சார்புகளைப் பற்றிய ஆழமான புரிதல், தூய கணிதத்தில் மட்டுமல்லாமல், பல்வேறு இதரத் துறைகளின் பயன்பாடுகளிலும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது.

1. கணினி அறிவியல்:
செயல்பாடுகள் என்பவை நிரலாக்கத்தின் அடித்தளமாகும்; அவை கட்டமைக்கப்பட்ட நெறிமுறைகளை உருவாக்க நாம் பயன்படுத்தும் கருவிகளாகும். செயல்பாடுகளைச் செயல்படுத்துவது, மேலும் கூறுநிலையான மற்றும் எளிதில் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய குறியீட்டை எழுத நமக்கு உதவுகிறது.

2. இயற்பியல்:
பல இயற்கை மாறிலிகளும் இயற்பியல் விதிகளும் சார்புகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, நியூட்டனின் குளிர்வித்தல் விதியை, வெப்பநிலை மற்றும் நேரத்தின் சார்பாக வெளிப்படுத்தலாம்.

3. பொருளாதாரம்:
வருமானம் மற்றும் நுகர்வு போன்ற பல்வேறு மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவைக் கணிக்க, பொருளாதார மாதிரிகளில் சார்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

செயல்பாட்டு பிரதிநிதித்துவம்

தேவைகள் மற்றும் சூழலைப் பொறுத்து, செயல்பாடுகளைப் பல்வேறு வடிவங்களில் குறிப்பிடலாம்:

1. அட்டவணை:
சார்புகளை, களம் மற்றும் துணைக்களக் கூறுகளின் இணைகளைக் காட்டும் அட்டவணைகள் மூலம் குறிப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, தினசரி வெப்பநிலை (களம்) மற்றும் விற்கப்பட்ட ஐஸ்கிரீம் கோன்களின் எண்ணிக்கை (துணைக்களம்) ஆகியவற்றைக் காட்டும் ஒரு அட்டவணை.

2. வரைபடம்:
சார்புகளைக் குறிப்பிடுவதற்கு சார்பு வரைபடங்கள் மிகவும் பயனுள்ள வழிகளில் ஒன்றாகும். ஒரு வரைபடத்தில், ஆட்களம் பெரும்பாலும் x-அச்சாலும், துணை ஆட்களம் y-அச்சாலும் குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு சார்பு என்பது செங்குத்துக் கோட்டுச் சோதனையில் தேர்ச்சி பெறும் ஒரு வரைபடமாகும்—அதாவது, ஒவ்வொரு செங்குத்துக் கோடும் வரைபடத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே வெட்டுகிறது.

3. சமன்பாடு:
கணிதத்தில் ஒரு சார்பை வெளிப்படுத்துவதற்கான மிகவும் பொதுவான வழி அதன் இயற்கணித வடிவமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, நேரியல் சார்பு \( f(x) = mx + c \) அல்லது இருபடிச் சார்பு \( f(x) = ax^2 + bx + c \).

சார்புகள் மற்றும் சார்பற்றவைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

சார்புகள் குறித்த நமது புரிதலைத் தெளிவுபடுத்திக்கொள்ள, சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

உதாரணம் 1:
– சார்பு: நம்மிடம் A = {1, 2, 3} என்ற ஒரு கணமும், B = {4, 5, 6} என்ற ஒரு கணமும் உள்ளன. சார்பு \( f \) ஆனது \( f(1) = 4 \), \( f(2) = 5 \), மற்றும் \( f(3) = 6 \) என வரையறுக்கிறது.
– ஒரு சார்பு அல்ல: \( f \) என்பது \( f(1) = 4 \) மற்றும் \( f(1) = 5 \) என வரையறுத்தால், இந்தத் தொடர்பு தெளிவாக ஒரு சார்பு அல்ல, ஏனெனில் ஆட்களத்தில் உள்ள ஒரு உறுப்பு துணை ஆட்களத்தில் உள்ள ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட உறுப்புகளுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது.

உதாரணம் 2:
– செயல்பாடு: ஒரு மாணவர் (களம்) அவரது தேர்வு மதிப்பெண்ணுடன் (துணைக்களம்) தொடர்புடையவர்.
– சார்பு அல்ல: ஒரே மாணவர் ஒரே தேர்வில் இரண்டு வெவ்வேறு மதிப்பெண்களைப் பெற முடியாது. இரண்டு மதிப்பெண்கள் இருந்தால், அந்தத் தொடர்பு ஒரு சார்பு அல்ல.

முடிவுரை

மேற்கண்ட விளக்கத்திலிருந்து, சார்பு என்பது கணிதத்தில் ஒரு அடிப்படைக் கருத்து என்பதையும், அது பல்வேறு துறைகளில் எண்ணற்ற பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதையும் நாம் காணலாம். ஒரு சார்பு, ஆட்களத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும், துணை ஆட்களத்தில் உள்ள ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே தொடர்புபடுத்துகிறது. ஒரு தொடர்பு இந்தப் பண்புகளைப் பூர்த்தி செய்யத் தவறினால், அது ஒரு சார்பு அல்ல. சார்புக்கும் சார்பற்றதற்கும் உள்ள வேறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்வது, மேலதிக கணிதப் படிப்புக்கும் அன்றாட வாழ்வில் நடைமுறைப் பயன்பாடுகளுக்கும் ஒரு உறுதியான அடித்தளத்தை வழங்குகிறது.