ஹார்மோனிக் அதிர்வு சூத்திரங்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

ஹார்மோனிக் அதிர்வு சூத்திரங்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

ஹார்மோனிக் அதிர்வு என்பது இயற்பியலில் ஒரு முக்கியத் தலைப்பாகும். இது காலமுறை இயக்கம், அலைகள் மற்றும் பொறியியல் பயன்பாடுகள் பற்றிய விவாதங்களில் அடிக்கடி இடம்பெறுகிறது. இதை நாம் சுருள்வில்கள், ஊசல்கள் (சிறிய கோணங்களுக்கு) ஆகியவற்றின் இயக்கத்திலும், பருப்பொருளிலுள்ள மூலக்கூறுகளின் அதிர்விலும்கூடக் காணலாம். இதன் இயக்கம் ஒரு சீரான வடிவத்தைப் பின்பற்றுவதாலும், இதை சைன் அல்லது கோசைன் சார்புகளைக் கொண்டு மாதிரியாக்க முடிவதாலும் இது "ஹார்மோனிக்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹார்மோனிக் அதிர்வு என்ற கருத்தைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் வகையில், இந்தக் கட்டுரை ஒரு சுருக்கமான வரையறை, முக்கிய சூத்திரங்கள் மற்றும் தீர்வுகளுடன் கூடிய எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது.

1. ஹார்மோனிக் அதிர்வுகளைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

எளிய சீரிசை அதிர்வு (SHM) என்பது ஒரு பொருள், சமநிலைப்புள்ளியைக் கடந்து முன்னும் பின்னுமாக நகரும் இயக்கமாகும். இதில் செயல்படும் மீள்விசையின் அளவு, இடப்பெயர்ச்சிக்கு நேர் விகிதத்திலும், அதன் திசை எப்போதும் சமநிலைப்புள்ளியை நோக்கியும் இருக்கும். கணிதரீதியாக, இதன் பண்புகளைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

எஃப் = −kx

மைனஸ் குறியானது, விசையின் திசையானது விலகல் திசைக்கு எதிரானது என்பதைக் குறிக்கிறது. பொருள் வலப்பக்கமாக (நேர்மறை x) இழுக்கப்பட்டால், மீள்விசை இடப்பக்கமாக (எதிர்மறை) இருக்கும், மற்றும் நேர்மாறாகவும் அமையும்.

GHS-க்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகப் பெரும்பாலும் குறிப்பிடப்படும் இரண்டு அமைப்புகள் ஆவன:

1. சுருள்வில்-நிறை அமைப்பு (சுருள்வின் முனையில் உள்ள நிறை).
2. எளிய ஊசல் (சிறிய கோணங்களுக்கு, பொதுவாக < 15°). 2. இசை அதிர்வில் உள்ள முக்கிய அளவுகள் GHS-இல் எப்போதும் தோன்றும் சில அளவுகள்: - விலகல் (x): சமநிலைப்புள்ளியிலிருந்து பொருளின் தூரம் (மீ). - வீச்சு (A): அதிகபட்ச விலகல் (மீ). - அலைவுக்காலம் (T): ஒரு முழுமையான அதிர்வுக்குத் தேவைப்படும் நேரம் (வி). - அதிர்வெண் (f): ஒரு வினாடிக்கு ஏற்படும் அதிர்வுகளின் எண்ணிக்கை (ஹெர்ட்ஸ்). - கோண வேகம் / கோண அதிர்வெண் (ω): சைன்/கோசைன் சமன்பாட்டில் ஒரு முக்கிய அளவுரு (ரேடியன்/வி). - கட்டம் (φ): இயக்கத்தின் ஆரம்ப நிலைகளைத் தீர்மானிக்கிறது. அலைக்காலத்திற்கும் அதிர்வெண்ணுக்கும் இடையேயான அடிப்படைத் தொடர்பு: f = 1/T மற்றும் T, f ஆகியவற்றுடன் ω-வின் தொடர்பு: ω = 2πf = 2π/T 3. ஹார்மோனிக் அதிர்வுச் சமன்பாடு நேரத்தின் சார்பாக விலகலின் பொதுவான வடிவத்தை இவ்வாறு எழுதலாம்: x(t) = A sin(ωt + φ) அல்லது x(t) = A cos(ωt + φ)

ஆரம்ப நிலைமைகளைப் பொறுத்து sin/cos தேர்வு சமமாகச் சரியானது (எ.கா., t = 0 இல், நிலை வீச்சில் அல்லது சமநிலைப்புள்ளியில் உள்ளது). திசைவேகம் மற்றும் முடுக்கம் திசைவேகம் என்பது இடப்பெயர்ச்சியின் முதல் வகைக்கெழு: v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (x = A sin எனில்) அல்லது ஆரம்ப வடிவத்தைப் பொறுத்து எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம். முடுக்கம் என்பது இரண்டாம் வகைக்கெழு: a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ) x(t) = A sin(ωt + φ) என்பதால், a(t) = −ω² x(t) இது GHS-இன் ஒரு முக்கியப் பண்பு: முடுக்கம் இடப்பெயர்ச்சிக்கு நேர் விகிதத்திலும் எதிர் திசையிலும் இருக்கும். பெருமத் திசைவேகம் மற்றும் பெரும முடுக்கம் - v_max = Aω - a_max = Aω² பொருள் சமநிலைப்புள்ளியை (x = 0) கடக்கும்போது பெருமத் திசைவேகம் ஏற்படுகிறது. பெரும முடுக்கம் வீச்சு (x = ±A) இல் இருக்கும்போது ஏற்படுகிறது. 4. சுருள்வில்கள் மற்றும் ஊசல்களில் அதிர்வின் அலைவுக்காலம் A. சுருள்வில்–நிறை k என்ற சுருள்வில் மாறிலி மற்றும் m என்ற நிறை கொண்ட ஒரு இலட்சிய சுருள்வில்லுக்கு: T = 2π √(m/k) ω = √(k/m) இதன் பொருள், நிறை அதிகமாக இருந்தால், அலைவுக்காலம் அதிகமாக இருக்கும் (மெதுவாக இருக்கும்). k அதிகமாக இருந்தால் (சுருள்வில் விறைப்பாக இருந்தால்), அலைவுக்காலம் குறைவாக இருக்கும் (வேகமாக இருக்கும்). B. எளிய ஊசல் (சிறிய கோணம்) L என்ற கம்பி நீளம் மற்றும் g என்ற புவியீர்ப்பு முடுக்கம் கொண்ட ஒரு ஊசல்லுக்கு: T = 2π √(L/g) ω = √(g/L) சுவாரஸ்யமாக, சிறிய கோணத் தோராயத்தில், அலைவுக்காலம் ஊசல்லின் நிறையைச் சார்ந்து இருப்பதில்லை, அது நீளம் மற்றும் புவியீர்ப்பை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. 5. இசை அதிர்வில் ஆற்றல் GHS-இல், மொத்த ஆற்றல் மாறாமல் இருக்கும் (உராய்வு இல்லை என்றால்): - சுருள்வில்லின் நிலை ஆற்றல்: Ep = ½ kx² - இயக்க ஆற்றல்: Ek = ½ mv² - மொத்த இயந்திர ஆற்றல்: E = Ek + Ep = ½ kA² x = ±A ஆக இருக்கும்போது, ​​v = 0, எனவே ஆற்றல் முழுவதும் நிலை ஆற்றலாகும். x = 0 ஆக இருக்கும்போது, ​​Ep = 0, மற்றும் ஆற்றல் முழுவதும் இயக்க ஆற்றலாகும். 6. எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல் எடுத்துக்காட்டு 1: சுருள்வில் அலைவுக்காலத்தைக் கண்டறிதல் 0,5 கிலோகிராம் நிறையுள்ள ஒரு பொருள், k = 200 N/m என்ற மாறாத விசை கொண்ட ஒரு சுருள்வில்லில் தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது. அதிர்வு அலைவுக்காலத்தைக் கண்டறியவும்! கொடுக்கப்பட்டது: m = 0,5 kg, k = 200 N/m கேட்கப்பட்டது: T விடை: T = 2π √(m/k) = 2π √(0,5 / 200) = 2π √(0,0025) = 2π (0,05) = 0,1π வி ≈ 0,314 வி ஆகவே, சுருள் அதிர்வின் அலைவுக்காலம் சுமார் 0,314 வி ஆகும். --- எடுத்துக்காட்டு 2: அதிர்வெண் மற்றும் ω-ஐக் கண்டறிதல் கேள்வி 1-இலிருந்து, அதிர்வெண் (f) மற்றும் ω-ஐக் கண்டறியவும்! விடை: f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 ஹெர்ட்ஸ் ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 ரேடியன்/வி (அல்லது நேரடியாக ω = √(கிலோ/மீ) = √(200/0,5) = √400 = 20 ரேடியன்/வி) ஆகவே, அதிர்வெண் சுமார் 3,18 ஹெர்ட்ஸ் மற்றும் ω = 20 ரேடியன்/வி ஆகும். --- எடுத்துக்காட்டு 3: விலகல் சமன்பாடு ஒரு பொருள் 0,10 மீ வீச்சு மற்றும் ω = 5 ரேடியன்/வி என்ற மதிப்புடன் சீரிசையாக அதிர்வுறுகிறது. t = 0-இல், பொருள் சமநிலைப்புள்ளியில் உள்ளது மற்றும் நேர்மறை திசையில் நகர்கிறது. விலகல் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்! கொடுக்கப்பட்டது: A = 0,10 மீ, ω = 5 ரேடியன்/விநாடி. ஆரம்ப நிபந்தனைகள்: t = 0 → x = 0 மற்றும் ஆரம்ப v நேர்மறையானது. x(0) = 0 எனில், பொருத்தமான வடிவம் சைன் ஆகும்: x(t) = A sin(ωt). v(t) = Aω cos(ωt) என்பதால், அதன்படி v(0) = Aω cos(0) = Aω நேர்மறையானது. எனவே: x(t) = 0,10 sin(5t) (மீட்டர்கள்) --- எடுத்துக்காட்டு 4: பெரும திசைவேகம் மற்றும் பெரும முடுக்கம். எடுத்துக்காட்டு 3-இலிருந்து, v_max மற்றும் a_max-ஐக் கண்டறியவும். விடை: v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 மீ/வி a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 மீ/வி² எனவே, v_max = 0,50 மீ/வி மற்றும் a_max = 2,5 மீ/வி² . --- எடுத்துக்காட்டு 5: ஒரு சுருள்வில்லில் உள்ள ஆற்றல் k = 100 N/m கொண்ட ஒரு சுருள்வில், A = 0,20 மீ வீச்சுடன் அதிர்வுறுகிறது. அதன் மொத்த இயந்திர ஆற்றலைக் கணக்கிடுங்கள்! விடை: E = ½ kA² = ½ (100)(0,20)² = 50 × 0,04 = 2 J அதிர்வின் மொத்த இயந்திர ஆற்றல் 2 ஜூல் ஆகும். --- எடுத்துக்காட்டு 6: ஊசலின் அலைவுக்காலம் ஒரு எளிய ஊசல் 1 மீ நீளம் கொண்டது. g = 10 மீ/வி² எனில், அதன் அலைவுக்காலத்தைக் கண்டறியவும். விடை: T = 2π √(L/g) = 2π √(1/10) = 2π √0,1 ≈ 2π (0,316) ≈ 1,99 வி. எனவே, ஊசலின் அலைவுக்காலம் சுமார் 2,0 வி ஆகும். 7. முடிவுரை: எளிய சீரிசை அதிர்வு என்பது இயற்பியலில் ஒரு மிக அடிப்படையான அலைவு இயக்கமாகும். இதை புரிந்துகொள்வதற்கான திறவுகோல், இடப்பெயர்ச்சிக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் மீள்விசைக்கும் (F = −kx), அத்துடன் சைன்/கோசைன் சார்பைப் பின்பற்றும் அதன் கணித மாதிரிக்கும் இடையிலான தொடர்பில் உள்ளது. சுருள்வில் மற்றும் ஊசல்களுக்கான அலைவுக்கால சூத்திரம், இடப்பெயர்ச்சி–திசைவேகம்–முடுக்கம் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஆற்றல் என்ற கருத்தைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், அதிர்வுகள் மற்றும் அலைகள் தொடர்பான கணக்குகளைச் செய்வது உங்களுக்கு எளிதாக இருக்கும். நீங்கள் விரும்பினால், நான் (முன் கலந்துரையாடல் இல்லாமல்) கூடுதல் பயிற்சிக் கேள்விகளைச் சேர்க்கலாம் அல்லது தேர்வுக்குத் தயாராக சூத்திரங்களின் சுருக்கமான பதிப்பை உருவாக்கலாம்.