ஹார்மோனிக் அதிர்வு சூத்திரங்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

ஹார்மோனிக் அதிர்வு சூத்திரங்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

ஹார்மோனிக் அதிர்வு என்பது இயற்பியலில் ஒரு முக்கியத் தலைப்பாகும். இது காலமுறை இயக்கம், அலைகள் மற்றும் பொறியியல் பயன்பாடுகள் பற்றிய விவாதங்களில் அடிக்கடி இடம்பெறுகிறது. இதை நாம் சுருள்வில்கள், ஊசல்கள் (சிறிய கோணங்களுக்கு) ஆகியவற்றின் இயக்கத்திலும், பருப்பொருளிலுள்ள மூலக்கூறுகளின் அதிர்விலும்கூடக் காணலாம். இதன் இயக்கம் ஒரு சீரான வடிவத்தைப் பின்பற்றுவதாலும், இதை சைன் அல்லது கோசைன் சார்புகளைக் கொண்டு மாதிரியாக்க முடிவதாலும் இது "ஹார்மோனிக்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹார்மோனிக் அதிர்வு என்ற கருத்தைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் வகையில், இந்தக் கட்டுரை ஒரு சுருக்கமான வரையறை, முக்கிய சூத்திரங்கள் மற்றும் தீர்வுகளுடன் கூடிய எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளைப் பற்றி விவாதிக்கிறது.

1. ஹார்மோனிக் அதிர்வுகளைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

எளிய சீரிசை அதிர்வு (SHM) என்பது ஒரு பொருள், சமநிலைப்புள்ளியைக் கடந்து முன்னும் பின்னுமாக நகரும் இயக்கமாகும். இதில் செயல்படும் மீள்விசையின் அளவு, இடப்பெயர்ச்சிக்கு நேர் விகிதத்திலும், அதன் திசை எப்போதும் சமநிலைப்புள்ளியை நோக்கியும் இருக்கும். கணிதரீதியாக, இதன் பண்புகளைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

எஃப் = −kx

மைனஸ் குறியானது, விசையின் திசையானது விலகல் திசைக்கு எதிரானது என்பதைக் குறிக்கிறது. பொருள் வலப்பக்கமாக (நேர்மறை x) இழுக்கப்பட்டால், மீள்விசை இடப்பக்கமாக (எதிர்மறை) இருக்கும், மற்றும் நேர்மாறாகவும் அமையும்.

GHS-க்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகப் பெரும்பாலும் குறிப்பிடப்படும் இரண்டு அமைப்புகள் ஆவன:

1. சுருள்வில்-நிறை அமைப்பு (சுருள்வின் முனையில் உள்ள நிறை).
2. எளிய ஊசல் (சிறிய கோணங்களுக்கு, பொதுவாக 15°க்கும் குறைவான).

2. ஹார்மோனிக் அதிர்வுகளில் உள்ள முக்கியமான அளவுகள்

GHS-இல் எப்போதும் தோன்றும் சில அளவுகள்:

– விலகல் (x): சமநிலைப்புள்ளியிலிருந்து பொருளின் தூரம் (மீ).
– வீச்சு (A): அதிகபட்ச விலகல் (மீ).
– அலைவுக்காலம் (T): ஒரு முழுமையான அதிர்வுக்குத் தேவைப்படும் நேரம் (வினாடிகள்).
– அதிர்வெண் (f): ஒரு வினாடிக்கு ஏற்படும் அதிர்வுகளின் எண்ணிக்கை (ஹெர்ட்ஸ்).
– கோணத் திசைவேகம் / கோண அதிர்வெண் (ω): சைன்/கோசைன் சமன்பாட்டில் உள்ள ஒரு முக்கியமான அளவுரு (rad/s).
– கட்டம் (φ): இயக்கத்தின் ஆரம்ப நிலைமைகளைத் தீர்மானிக்கிறது.

காலத்திற்கும் அதிர்வெண்ணுக்கும் இடையிலான அடிப்படைத் தொடர்பு:

f = 1/T

மேலும் ω-விற்கும் T மற்றும் f-க்கும் இடையிலான தொடர்பு:

ω = 2πf = 2π/T

3. ஹார்மோனிக் அதிர்வு சமன்பாடு

நேரத்தைச் சார்ந்த சார்பாக விலகலின் பொதுவான வடிவத்தை இவ்வாறு எழுதலாம்:

x(t) = A sin(ωt + φ)
அல்லது
x(t) = A cos(ωt + φ)

ஆரம்ப நிலைமைகளைப் பொறுத்து, sin/cos-ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதும் சரியானதே (எ.கா. t = 0 ஆக இருக்கும்போது, ​​நிலை வீச்சில் அல்லது சமநிலைப்புள்ளியில் இருக்கும்).

வேகம் மற்றும் முடுக்கம்

திசைவேகம் என்பது இடப்பெயர்ச்சியின் முதல் வகைக்கெழு ஆகும்:

v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (x = A sin எனில்)
அல்லது அதன் ஆரம்ப வடிவத்தைப் பொறுத்து எதிர்மறை மதிப்பையும் கொண்டிருக்கலாம்.

முடுக்கம் என்பது இரண்டாம் வகைக்கெழு ஆகும்:

a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ)

x(t) = A sin(ωt + φ) என்பதால், :

a(t) = −ω² x(t)

இது GHS-இன் ஒரு முக்கிய அம்சமாகும்: முடுக்கம் என்பது இடப்பெயர்ச்சிக்கு நேர் விகிதத்திலும், எதிர் திசையிலும் இருக்கும்.

அதிகபட்ச வேகம் மற்றும் அதிகபட்ச முடுக்கம்

– v_max = Aω
– a_max = Aω²

பொருள் சமநிலைப்புள்ளியை (x = 0) கடக்கும்போது பெரும திசைவேகம் ஏற்படுகிறது. பெரும முடுக்கம் (x = ±A) வீச்சில் ஏற்படுகிறது.

4. சுருள்வில்கள் மற்றும் ஊசல்களில் ஏற்படும் அதிர்வுக் காலம்

அ. வசந்தகாலம்–மாஸ்

k என்ற சுருள் மாறிலி மற்றும் m என்ற நிறையைக் கொண்ட ஒரு இலட்சிய சுருளுக்கு:

T = 2π √(m/k)
ω = √(கி/மீ)

இதன் பொருள் என்னவென்றால், நிறை அதிகமாக இருந்தால், அலைவுக்காலம் அதிகமாக இருக்கும் (மெதுவாக இருக்கும்). k அதிகமாக இருந்தால் (விறைப்பான சுருள்வில்), அலைவுக்காலம் குறைவாக இருக்கும் (வேகமாக இருக்கும்).

B. எளிய ஊசல் (சிறிய கோணம்)

L நீளமுள்ள கயிற்றையும் g புவியீர்ப்பு முடுக்கத்தையும் கொண்ட ஒரு ஊசலுக்கு:

T = 2π √(L/g)
ω = √(கி/லி)

சுவாரஸ்யமாக, சிறிய கோண அணுகுமுறையில், அலைவுக்காலம் ஊசலின் நிறையைச் சார்ந்து இருப்பதில்லை, மாறாக அதன் நீளம் மற்றும் புவியீர்ப்பை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது.

5. இசைவு அதிர்வுகளில் உள்ள ஆற்றல்

GHS-இல், மொத்த ஆற்றல் மாறாமல் இருக்கும் (உராய்வு இல்லாத பட்சத்தில்):

– சுருளின் நிலை ஆற்றல்:
Ep = ½ kx²
– இயக்க ஆற்றல்:
Ek = ½ mv²
– மொத்த இயந்திர ஆற்றல்:
E = Ek + Ep = ½ kA²

x = ±A ஆக இருக்கும்போது, ​​v = 0, எனவே ஆற்றல் முழுவதுமாக நிலை ஆற்றலாகும். x = 0 ஆக இருக்கும்போது, ​​Ep = 0, மற்றும் ஆற்றல் முழுவதுமாக இயக்க ஆற்றலாகும்.

6. மாதிரி கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்

எடுத்துக்காட்டு 1: வசந்த காலத்தை நிர்ணயித்தல்

0,5 கிலோகிராம் நிறையுள்ள ஒரு பொருள், k = 200 N/m என்ற மாறிலிப் பின்னுள்ள ஒரு சுருள்வில்லில் தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது. அதிர்வின் அலைக்காலத்தைக் கண்டறியவும்!

கொடுக்கப்பட்டது: m = 0,5 kg, k = 200 N/m
கேட்டது: டி

பதில்:

T = 2π √(m/k)
= 2π √(0,5 / 200)
= 2π √(0,0025)
= 2π (0,05)
= 0,1π வி
≈ 0,314 வி

எனவே, சுருளின் அதிர்வுக் காலம் சுமார் 0,314 வி ஆகும்.

-

எடுத்துக்காட்டு 2: அதிர்வெண் மற்றும் ω-ஐக் கண்டறிதல்

கேள்வி 1-இலிருந்து, அதிர்வெண் (f) மற்றும் ω! ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

பதில்:

f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 ஹெர்ட்ஸ்

ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 ரேட்/வி
(அல்லது நேரடியாக ω = √(கிமீ/மீ) = √(200/0,5) = √400 = 20 ரேடியன்/விநாடி)

எனவே, அதிர்வெண் சுமார் 3,18 ஹெர்ட்ஸ் மற்றும் ω = 20 ரேடியன்/விநாடி.

-

எடுத்துக்காட்டு 3: விலகல் சமன்பாடு

ஒரு பொருள் 0,10 மீ வீச்சு மற்றும் ω = 5 rad/s உடன் சீரிசையாக அதிர்வுறுகிறது. t = 0 இல், பொருள் சமநிலையில் உள்ளது மற்றும் நேர்மறை திசையில் நகர்கிறது. இடப்பெயர்வு சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்!

கொடுக்கப்பட்டது: A = 0,10 மீ, ω = 5 ரேடியன்/வி
ஆரம்ப நிபந்தனைகள்: t = 0 → x = 0 மற்றும் ஆரம்ப v நேர்மறையானது.

x(0) = 0 எனில், பொருத்தமான வடிவம் சைன் ஆகும்:
x(t) = A sin(ωt)

v(t) = Aω cos(ωt) என்பதால், அதன்படி v(0) = Aω cos(0) = நேர்மறை Aω ஆகும்.

ஆகவே:

x(t) = 0,10 sin(5t) (மீட்டர்கள்)

-

எடுத்துக்காட்டு 4: பெரும திசைவேகம் மற்றும் பெரும முடுக்கம்

எடுத்துக்காட்டு 3-இலிருந்து, v_max மற்றும் a_max ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

பதில்:

v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s

a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s²

எனவே, v_max = 0,50 மீ/வி மற்றும் a_max = 2,5 மீ/வி².

-

எடுத்துக்காட்டு 5: ஒரு நீரூற்றில் உள்ள ஆற்றல்

k = 100 N/m என்ற விசை கொண்ட ஒரு சுருள்வில், A = 0,20 m என்ற வீச்சுடன் அதிர்வுறுகிறது. அதன் மொத்த இயந்திர ஆற்றலைக் கணக்கிடுங்கள் !

பதில்:

E = ½ kA²
= ½ (100)(0,20)²
= 50 × 0,04
= 2 J

அதிர்வின் மொத்த இயந்திர ஆற்றல் 2 ஜூல் ஆகும்.

-

எடுத்துக்காட்டு 6: ஊசல் காலம்

ஒரு எளிய ஊசல் 1 மீ நீளம் கொண்டது. g = 10 மீ/வி² எனில், அதன் அலைவுக்காலத்தைக் காண்க.

பதில்:

T = 2π √(L/g)
= 2π √(1/10)
= 2π √0,1
≈ 2π (0,316)
≈ 1,99 வி

எனவே, ஊசலின் அலைவுக்காலம் சுமார் 2,0 வி ஆகும்.

7. முடிவுரை

எளிய சீரிசை அலைவு என்பது இயற்பியலில் ஒரு அடிப்படை காலமுறை இயக்கமாகும். அதைப்புரிந்துகொள்வதற்கான திறவுகோல், மீள்விசைக்கும் இடப்பெயர்ச்சிக்கும் (F = −kx) இடையேயான தொடர்பிலும், சைன்/கோசைன் சார்பைப் பின்பற்றும் அதன் கணித மாதிரியிலும் அடங்கியுள்ளது. ஒரு சுருள்வில் மற்றும் ஊசலின் அலைவுக்காலத்திற்கான சூத்திரங்கள், இடப்பெயர்ச்சி–திசைவேகம்–முடுக்கம் சமன்பாடுகள், மற்றும் ஆற்றல் என்ற கருத்துரு ஆகியவற்றைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், அதிர்வுகள் மற்றும் அலைகள் தொடர்பான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது உங்களுக்கு எளிதாக இருக்கும்.

நீங்கள் விரும்பினால், நான் (முன் கலந்துரையாடல் இல்லாமல்) கூடுதல் பயிற்சிக் கேள்விகளைச் சேர்க்கலாம் அல்லது தேர்வுக்குத் தயாராக சூத்திரங்களின் சுருக்கமான பதிப்பை உருவாக்கலாம்.