நெடுவரிசை திசையன்கள் மற்றும் வரிசை திசையன்கள் பற்றிய எடுத்துக்காட்டு கேள்விகள்
கணிதத்தில், குறிப்பாக நேரியல் இயற்கணிதத்தில், திசையன்கள் என்பவை இயற்பியல் மாதிரியாக்கம் முதல் கணக்கீடு வரையிலான பல்வேறு பயன்பாடுகளில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும். நெடுவரிசை திசையன்கள் மற்றும் வரிசை திசையன்கள் என்பவை திசையன் பிரதிநிதித்துவத்தின் இரண்டு வடிவங்களாகும்; ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த குணாதிசயங்களையும் பயன்பாடுகளையும் கொண்டுள்ளது. இந்தக் கட்டுரை, நெடுவரிசை திசையன்கள் மற்றும் வரிசை திசையன்கள் சம்பந்தப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளையும் அவற்றின் தீர்வுகளையும் விவாதிக்கும்.
நெடுவரிசை திசையன் மற்றும் வரிசை திசையன் ஆகியவற்றின் வரையறை
எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளுக்கும் அவற்றின் விவாதத்திற்கும் செல்வதற்கு முன், நெடுவரிசை திசையன்கள் மற்றும் வரிசை திசையன்களின் அடிப்படை வரையறைகளை முதலில் மீள்பார்வை செய்வோம்.
– நெடுவரிசை வெக்டர்கள் என்பவை ஒரு நெடுவரிசையில், அதாவது ஒரே செங்குத்துப் பரிமாணத்தில் அமைக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஆகும். எடுத்துக்காட்டு:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
3 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
2
\முடிவு{pmatrix}
\]
வரிசை வெக்டர்கள் என்பவை, வரிசைகளில், அதாவது ஒரே கிடைமட்டப் பரிமாணத்தில் அமைக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஆகும். எடுத்துக்காட்டு:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
எடுத்துக்காட்டு 1: நெடுவரிசை திசையன்களைக் கூட்டுதல்
கேள்வி:
பின்வரும் இரண்டு நெடுவரிசை திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
2 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
1 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
0
\முடிவு{pmatrix}
\]
இரு நெடுவரிசை திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு:
இரண்டு நெடுவரிசை திசையன்களின் கூட்டல், அவற்றின் ஒத்த உறுப்புகளைக் கூட்டுவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
2 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
3
+ pmatrix-ஐத் தொடங்கு
4 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
1 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
3 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
3
\முடிவு{pmatrix}
\]
ஆகவே, \(\mathbf{u}\) மற்றும் \(\mathbf{v}\) ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 2: வரிசைத் திசையன்களைக் கூட்டுதல்
கேள்வி:
பின்வரும் இரண்டு வரிசை வெக்டர்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
இரு நிரை திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு:
இரண்டு நிரை வெக்டர்களின் கூட்டல், அவற்றுக்குரிய உறுப்புகளைக் கூட்டுவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
ஆகவே, \(\mathbf{a}\) மற்றும் \(\mathbf{b}\) ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\) ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 3: நெடுவரிசை திசையன்களைப் பயன்படுத்தி திசையிலிப் பெருக்கல்
கேள்வி:
ஒரு நெடுவரிசை திசையன் \(\mathbf{c}\) மற்றும் ஒரு ஸ்கேலார் \(k\) கொடுக்கப்பட்டால்:
\[
c = p அணி
-3 \\
4 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
திசையிலிப் பெருக்கலின் முடிவைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு:
ஒரு நெடுவரிசை திசையனின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் ஒரு ஸ்கேலரால் பெருக்குவதன் மூலம் ஸ்கேலர் பெருக்கல் செய்யப்படுகிறது.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \times -3 \\
2 முறை 4
2 × 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
10
\முடிவு{pmatrix}
\]
எனவே, ஸ்கேலார் \(2\) ஐ நெடுவரிசை வெக்டர் \(\mathbf{c}\) ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் முடிவு \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\) ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 4: வரிசை திசையன்களைக் கொண்டு திசையிலிப் பெருக்கல்
கேள்வி:
ஒரு வரிசை திசையன் \(\mathbf{d}\) மற்றும் ஒரு ஸ்கேலார் \(m\) கொடுக்கப்பட்டால்:
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
திசையிலிப் பெருக்கலின் முடிவைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு:
ஒரு வரிசை திசையனின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் ஒரு ஸ்கேலரால் பெருக்குவதன் மூலம் ஸ்கேலர் பெருக்கல் செய்யப்படுகிறது.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
எனவே, ஸ்கேலார் \(-3\) ஐ வரிசை வெக்டர் \(\mathbf{d}\) ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் முடிவு \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\) ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 5: அணி \(1 \times 3\) ஐ \(3 \times 1\) ஆல் பெருக்குதல் (நிரை திசையனை நெடுவரிசை திசையனால் பெருக்குதல்)
கேள்வி:
வரிசை திசையன் \(\mathbf{e}\) மற்றும் ஒரு நெடுவரிசை திசையன் \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
3 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
-2
\முடிவு{pmatrix}
\]
இரு வெக்டர்களின் பெருக்கற்பலனைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு:
அணிப் பெருக்கலைச் செய்ய, வரிசைத் திசையன் \(\mathbf{e}\) ஒரு \(1 \times 3\) அணியாகவும், நிரல் திசையன் \(\mathbf{f}\) ஒரு \(3 \times 1\) அணியாகவும் கருதப்படுகிறது. இந்தப் பெருக்கலின் விளைவு ஒரு ஸ்கேலார் ஆகும், அதாவது அது தொடர்புடைய உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
3 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
-2
p அணி = (2 × 5) + (-1 × 3) + (4 × -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
எனவே, வரிசை திசையன் \(\mathbf{e}\) ஐ நெடுவரிசை திசையன் \(\mathbf{f}\) ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் முடிவு \(-1\) ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு 6: அணி \(3 \times 1\) ஐ \(1 \times 3\) ஆல் பெருக்குதல் (நெடுவரிசை திசையனை வரிசை திசையனால் பெருக்குதல்)
கேள்வி:
ஒரு நெடுவரிசை திசையன் \(\mathbf{g}\) மற்றும் ஒரு வரிசை திசையன் \(\mathbf{h}\) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
2 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
இரு வெக்டர்களின் பெருக்கற்பலனைக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு:
ஒரு நெடுவரிசை திசையனை ஒரு வரிசை திசையனுடன் பெருக்கினால், (\(3 \times 1\)) என்ற அணி கிடைக்கும். அதனை (\(1 \times 3\)) என்ற அணியால் பெருக்கினால், \(3 \times 3\) என்ற அணி கிடைக்கும். இதில் ஒவ்வொரு புதிய உறுப்பும் அதற்கே உரிய உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனாக அமையும்.
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
2 \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX \ XNUMX
3
\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \times 4 & 1 \times 5 & 1 \times 6 \\
2 \times 4 & 2 \times 5 & 2 \times 6 \\
3 \times 4 & 3 \times 5 & 3 \times 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\முடிவு{pmatrix}
\]
எனவே, நெடுவரிசை திசையன் \(\mathbf{g}\) ஐ வரிசை திசையன் \(\mathbf{h}\) ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் அணி:
\[
\தொடங்கு{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\முடிவு{pmatrix}
\]
முடிவுரை
இந்தக் கட்டுரை முழுவதும், நெடுவரிசை மற்றும் வரிசை வெக்டர்கள் சம்பந்தப்பட்ட பல எடுத்துக்காட்டுகளை நாம் பார்த்தோம். நெடுவரிசை மற்றும் வரிசை வெக்டர்கள் இரண்டின் கூட்டலும், அவற்றின் தொடர்புடைய உறுப்புகளைக் கூட்டுவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது. ஒரு வெக்டரால் ஸ்கேலார் பெருக்கலும், அந்த வெக்டரின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் ஸ்கேலாரால் பெருக்குவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது. இறுதியாக, வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை வெக்டர்களை அவற்றின் வரிசையைப் பொறுத்து ஒரு ஸ்கேலார் அல்லது ஒரு அணியைப் பெறும் வகையில் எவ்வாறு பெருக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொண்டோம். நேரியல் இயற்கணிதம் மற்றும் தரவுப் பகுப்பாய்வில் உள்ள மிகவும் சிக்கலான பயன்பாடுகளுக்கு இந்த அடிப்படைச் செயல்பாடுகளில் தேர்ச்சி பெறுவது மிகவும் முக்கியமானது.
