குழுத் தரவுகளின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் குறித்து விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

குழுத் தரவுகளின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் குறித்து விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

பெண்டாஹுலுவான்
புள்ளியியலில், மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் என்பவை, சராசரியிலிருந்து தரவுகளின் பரவலைப் புரிந்துகொள்வதற்கு அவசியமான இரண்டு புள்ளியியல் அளவீடுகள் ஆகும். மாறுபாடு என்பது தரவுகள் சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் பரவியுள்ளன என்பதை அளவிடுகிறது, அதேசமயம் திட்ட விலக்கம் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலமாகும். இது அசல் தரவுகளின் அலகுகளிலேயே ஒரு அளவீட்டை வழங்குகிறது.

கண்டிப்பாக
– மாறுபாடு (σ² அல்லது S²): இது ஒவ்வொரு தரவு மதிப்பிற்கும் தரவின் சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடுகளின் வர்க்கங்களின் சராசரி ஆகும்.
– திட்ட விலக்கம் (σ அல்லது S): இது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் ஆகும்.

குழுத் தரவுகளின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்திற்கான சூத்திரம்
குழுத் தரவுகளுக்கு, ஒவ்வொரு வகுப்பிலும் உள்ள தரவுகளின் நிகழ்வெண்ணைப் பயன்படுத்துகிறோம். அதற்கான சூத்திரம் இதோ:

மாறுபாடு
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]

திட்ட விலகல்
\[ S = \sqrt{S^2} \]

எங்கே:
– \( f_i \) = ஒவ்வொரு வகுப்பின் நிகழ்வெண்.
– \( x_i \) = ஒவ்வொரு வகுப்பின் மையப்புள்ளி.
– \( \bar{x} \) = குழுத் தரவுகளின் சராசரி.
– \( N \) = மொத்த தரவுகளின் எண்ணிக்கை.

மாதிரி கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்
ஒரு குழுவினரின் எடைத் தரவுகள், வகுப்புகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு நம்மிடம் இருப்பதாகக் கருதுவோம்.

| எடை இடைவெளி (கிலோ) | அதிர்வெண் (அலைகள்) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |

முதல் படியாக, ஒவ்வொரு வகுப்பின் மையப்புள்ளியையும் ( \( x_i \) ) கண்டறிந்து, பின்னர் சராசரியை (\( \bar{x} \)) கணக்கிட வேண்டும்.

1. நடுப்புள்ளியைக் ( \( x_i \) ) கணக்கிடுதல்
\[ \text{நடுப்புள்ளி} = \frac{\text{கீழ் எல்லை} + \text{மேல் எல்லை}}{2} \]

| எடை இடைவெளி (கிலோ) | அதிர்வெண் (அலை) | மையப்புள்ளி ( \( x_i \) ) |
|——————|————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |

2. சராசரியைக் கணக்கிடுதல் ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]

மொத்த தரவுகளின் எண்ணிக்கை \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]

\[ \sum f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]

ஆகவே, சராசரி (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]

3. மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுதல் ( \( S^2 \) )
நாம் \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \) ஐக் கணக்கிட வேண்டும்:

\[
\begin{align }
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
(72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align }
\]

அதிர்வெண்ணால் பெருக்குதல்:
\[
\begin{align }
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 \times 33.64 = 168.2 \\
& 8 \times 0.64 = 5.12 \\
& 7 \times 17.64 = 123.48 \\
& 3 \times 84.64 = 253.92
\end{align }
\]

\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]

இப்போது நாம் மாறுபாட்டை (\( S^2 \)) கணக்கிடலாம்:
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \approx 32.85 \]

4. திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுதல் ( \( S \) )
திட்ட விலகல் ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \approx 5.73 \]

முடிவுரை
மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுத் தரவுகளிலிருந்து, நமக்குக் கிடைப்பது:
– சராசரி உடல் எடையைக் கணக்கிடுதல்: 62.8 கிலோ
– மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுதல்: 32.85 கி.கி²
– திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுதல்: 5.73 கிலோகிராம்

திட்ட விலக்கத்தின் விளக்கம் என்னவென்றால், சராசரியிலிருந்து எடைத் தரவுகளின் சராசரி விலகல் தோராயமாக 5.73 கிலோகிராம் ஆகும். இது சராசரியைப் பொறுத்து தரவுகளின் பரவலைக் குறிக்கிறது, மேலும் நமது தரவுகள் எவ்வளவு மாறுபடுகின்றன என்பதை ஊகித்து அறிய இது உதவும்.

மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் பற்றிய முழுமையான புரிதல் மிகவும் இன்றியமையாதது. குறிப்பாக, புள்ளியியல், ஆராய்ச்சி மற்றும் சோதனைத் துறைகளில் பணிபுரிபவர்கள், தரவுகளைக் குழுக்கள் அல்லது பரவல்கள் வடிவில் புரிந்துகொள்ள முயற்சிக்கும்போது இது அவசியமாகிறது. இந்த இரண்டு அளவீடுகளையும் எவ்வாறு கணக்கிடுவது மற்றும் விளக்குவது என்பதை அறிந்துகொள்வது, கையிலுள்ள தரவுகளின் அடிப்படையில் சிறந்த முடிவுகளை எடுக்க உதவக்கூடும்.