பரவலின் அளவைப் பற்றி விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

பகிர்வு அளவீடுகள் குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் கலந்துரையாடலும்

பரவல் அளவீடுகள் என்பவை, ஒரு தரவுத் தொகுப்பிற்குள் உள்ள தரவுகள் எவ்வளவு பரவியுள்ளன அல்லது வேறுபடுகின்றன என்பதை விவரிக்கப் பயன்படும் புள்ளியியல் கருத்துருக்கள் ஆகும். பரவலின் அளவானது, தரவுப் பரவலைப் பற்றி மேலும் ஆழமான பார்வையை அளித்து, இடைநிலை மற்றும் சராசரியிலிருந்து மட்டும் காண முடியாத தகவல்களை வெளிப்படுத்துகிறது. இந்தக் கருத்தைத் தெளிவுபடுத்துவதற்காக, இந்தக் கட்டுரை பரவல் அளவீடுகள் தொடர்பான பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளையும் அவற்றைப் பற்றிய விவாதத்தையும் விவாதிக்கும். வீச்சு, திட்ட விலக்கம், மாறுபாடு மற்றும் கால்மான இடைவெளி (IQR) உட்பட, பரவலுக்குப் பல்வேறு அளவீடுகள் உள்ளன.

1. வரம்பு

கண்டிப்பாக
ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் உள்ள மிக உயர்ந்த மற்றும் மிகக் குறைந்த மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு வீச்சு ஆகும்.

சிக்கல்களின் உதாரணம்
ஒரு கால்பந்து அணி தங்களின் கடைசி 10 போட்டிகளில் அடித்த கோல்களின் எண்ணிக்கையை பின்வருமாறு பதிவு செய்கிறது:
3, 5, 2, 8, 7, 2, 6, 9, 4, மற்றும் 1.

கலந்துரையாடல்
வீச்சைக் கணக்கிட, நாம் தரவுகளின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளைக் கண்டறிய வேண்டும்.

– அதிகபட்ச மதிப்பெண்: 9
– குறைந்தபட்ச மதிப்பு: 1

வீச்சு = பெரும மதிப்பு – சிறும மதிப்பு = 9 – 1 = 8

ஆகவே, கடந்த 10 போட்டிகளில் அடிக்கப்பட்ட கோல்களின் வித்தியாசம் 8 கோல்கள் ஆகும்.

2. திட்ட விலகல்

கண்டிப்பாக
திட்ட விலக்கம் என்பது ஒரு தரவுத்தொகுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு மதிப்பும் அதன் சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் விலகி உள்ளது என்பதற்கான அளவீடு ஆகும். திட்ட விலக்கம் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் ஆகும்.

சிக்கல்களின் உதாரணம்
ஒரு வகுப்பின் கணிதத் தேர்வு மதிப்பெண்கள் இதோ: 65, 70, 75, 80 மற்றும் 85.

கலந்துரையாடல்
முதல் படி சராசரி மதிப்பெண்ணைக் கணக்கிடுவது.

\[
சராசரி = 65 + 70 + 75 + 80 + 85 / 5 = 75
\]

இரண்டாவது படி என்னவென்றால், ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் சராசரிக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தைக் கணக்கிட்டு, பின்னர் அந்த முடிவை வர்க்கப்படுத்த வேண்டும்:
– (65 – 75)² = 100
– (70 – 75)² = 25
– (75 – 75)² = 0
– (80 – 75)² = 25
– (85 – 75)² = 100

மூன்றாவது படியானது, வேறுபாடுகளின் வர்க்கங்களின் சராசரியைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் மாறுபாட்டைக் கண்டறிவதாகும்:
\[
மாறுபாடு = 100 + 25 + 0 + 25 + 100/5 = 50
\]

திட்ட விலக்கம் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் ஆகும்:
\[
திட்ட விலகல் = √50 ≈ 7.07
\]

எனவே, தேர்வு மதிப்பெண்களின் திட்ட விலக்கம் சுமார் 7.07 ஆகும்.

3. மாறுபாடு

கண்டிப்பாக
மாறுபாடு என்பது ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் அதன் சராசரிக்கும் இடையிலான வர்க்க வேறுபாடுகளின் சராசரி ஆகும்; இது சராசரியைச் சுற்றி தரவுகள் எவ்வளவு பரவியுள்ளன என்பதை விவரிக்கிறது. மாறுபாடு என்பது திட்ட விலக்கத்தின் வர்க்கம் ஆகும்.

சிக்கல்களின் உதாரணம்
நம்மிடம் பின்வரும் தரவுத்தொகுப்பு இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்: 10, 20, 30, 40 மற்றும் 50.

கலந்துரையாடல்
தரவுகளின் சராசரியைக் கணக்கிடுவதே முதல் படியாகும்.
\[
சராசரி = 10 + 20 + 30 + 40 + 50 / 5 = 30
\]

இரண்டாவது படி என்னவென்றால், ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் சராசரிக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தைக் கணக்கிட்டு, பின்னர் அந்த முடிவை வர்க்கப்படுத்த வேண்டும்:
– (10 – 30)² = 400
– (20 – 30)² = 100
– (30 – 30)² = 0
– (40 – 30)² = 100
– (50 – 30)² = 400

மூன்றாவது படியானது, வேறுபாடுகளின் வர்க்கங்களின் சராசரியைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் மாறுபாட்டைக் கண்டறிவதாகும்:
\[
மாறுபாடு = 400 + 100 + 0 + 100 + 400/5 = 200
\]

ஆகவே, தரவுத்தொகுப்பின் மாறுபாடு 200 ஆகும்.

4. கால்மான இடைவெளி (IQR)

கண்டிப்பாக
கால்மான இடைவெளி (IQR) என்பது மூன்றாம் கால்மானத்திற்கும் (Q3) முதல் கால்மானத்திற்கும் (Q1) இடையிலான வேறுபாடு ஆகும். IQR ஆனது ஒரு தரவுத்தொகுப்பில் உள்ள தரவுகளின் நடுவில் உள்ள 50%-இலிருந்து பரவலின் அளவை வழங்குகிறது, இது இடைவெளியை விட அதிக தகவல்களைத் தரக்கூடியதாக இருக்கும்.

சிக்கல்களின் உதாரணம்
பின்வரும் தரவுத்தொகுப்பில் 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 மற்றும் 14 ஆகிய மதிப்புகள் உள்ளன.

கலந்துரையாடல்
முதலில், நாம் தரவுகளை வரிசைப்படுத்த வேண்டும்:
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 14

Q1 மற்றும் Q3-ஐக் கணக்கிட, நாம் தரவுகளைக் கால்பகுதிகளாகப் பிரிக்க வேண்டும்.

– இடைநிலை (Q2) 6 மற்றும் 7 க்கு இடையில் உள்ளது: \((6+7)/2 = 6.5\)

Q1-க்கு, குறைந்த மதிப்புகளின் இடைநிலையை நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம்:
– 1, 3, 4, 5, 6
– இந்த துணைக்குழுவின் இடைநிலை 4 ஆகும்.

Q3-க்கு, மேல் மதிப்புகளின் இடைநிலையை நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம்:
– 7, 8, 11, 13, 14
– இந்த துணைக்குழுவின் இடைநிலை 11 ஆகும்.

கால்மான இடைவெளி (IQR) = Q3 – Q1 = 11 – 4 = 7

எனவே, தரவுத்தொகுப்பிற்கான IQR 7 ஆகும்.

முடிவுரை

பரவல் அளவீடுகள் என்பவை, தரவுகளில் உள்ள மாறுபாட்டின் அளவைப் புரிந்துகொள்ள நமக்கு உதவும் புள்ளியியலின் முக்கிய அம்சங்களாகும். இந்தக் கட்டுரையில், பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பல பரவல் அளவீடுகளான வீச்சு, திட்ட விலக்கம், மாறுபாடு மற்றும் கால்மான இடைவெளி வீச்சு ஆகியவற்றைப் பற்றி விவாதித்து, எடுத்துக்காட்டுகளையும் விளக்கங்களையும் வழங்கியுள்ளோம். இந்தக் கருத்துகளையும் அவற்றை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதையும் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், நாம் பகுப்பாய்வு செய்யும் தரவுகளின் பண்புகளைப் பற்றி ஒரு சிறந்த புரிதலைப் பெறுகிறோம். இது, அந்தத் தரவுகளின் அடிப்படையில் மேலும் தகவலறிந்த முடிவுகளை எடுக்க நமக்கு உதவும்.