ஒரு வகை முக்கோணவியல் விகிதம் குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விக்கான எடுத்துக்காட்டு: tan θ

ஒரு வகை முக்கோணவியல் விகிதங்கள் குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் கலந்துரையாடலும்: tan θ

முக்கோணவியல் என்பது முக்கோணங்களில் கோணங்களுக்கும் பக்க நீளங்களுக்கும் இடையிலான உறவைப் பற்றி ஆராயும் கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும். அடிக்கடி விவாதிக்கப்படும் ஒரு முக்கோணவியல் விகிதம் டேன்ஜென்ட் (tan) ஆகும். இந்தக் கட்டுரையில், பல்வேறு வகையான கணக்குகளில் டேன்ஜென்ட் விகிதத்தைப் பயன்படுத்துவதில் கவனம் செலுத்துவோம், மேலும் tan θ சம்பந்தப்பட்ட பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

tan θ-வின் வரையறை

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கோணம் θ-வின் டேன்ஜென்ட் என்பது எதிர்ப்பக்கத்தின் நீளத்திற்கும் அடுத்துள்ள பக்கத்தின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. கணிதரீதியாக, இது பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:

\[ \tan θ = \frac{\text{எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{அடுத்துள்ள பக்கம்}} \]

அலகு வட்டத்தில், tan என்பதை, மையத்திலிருந்து ஒரு அலகு தொலைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியின் y ஆயத்தொலைவுக்கும் (முன்பக்கம்) x ஆயத்தொலைவுக்கும் (பக்கவாட்டுப் பக்கம்) இடையேயான விகிதமாகவும் கருதலாம்.

கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில் tan சார்பு

முக்கோணவியல், குறிப்பாக டான் சார்பு, பல்வேறு கணித மற்றும் இயற்பியல் பயன்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, செவ்வியல் இயற்பியலில், எறிபொருள் இயக்கத்தைப் பகுப்பாய்வு செய்வதில் டான் சார்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது; மேலும் பொறியியலில், ஒரு பரப்பின் சாய்வுக் கோணம் அல்லது சரிவைக் கணக்கிட இது பயன்படுகிறது.

மாதிரி கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்

tan θ-வின் பயன்பாட்டை இன்னும் ஆழமாகப் புரிந்துகொள்வதற்காக, சில எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் அவற்றின் விளக்கங்களும் இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

கேள்வி 1: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் tan θ-வைக் கணக்கிடுதல்

கொடுக்கப்பட்டது: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கோணம் θ-விற்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் நீளம் 4 செ.மீ. மற்றும் கோணம் θ-விற்கு அடுத்துள்ள பக்கத்தின் நீளம் 3 செ.மீ. ஆகும். tan θ-வின் மதிப்பைக் கணக்கிடுக.

கலந்துரையாடல்:
பழுப்பு நிறத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்தவும்:
\[ \tan θ = \frac{\text{முன் பக்கம்}}{\text{பக்கம்}} \]
தெரிந்த மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:
\[ \tan θ = \frac{4}{3} \]
எனவே, tan θ-வின் மதிப்பு \( \frac{4}{3} \). ஆகும்.

கேள்வி 2: tan θ-ஐப் பயன்படுத்தி ஒரு பக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டறிதல்

கொடுக்கப்பட்டது: கோணம் θ கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் tan θ = 0.75 எனக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. கோணம் θ-க்கு அடுத்துள்ள பக்கத்தின் நீளம் 8 செ.மீ. ஆகும். கோணம் θ-க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் நீளத்தைக் கணக்கிடுக.

கலந்துரையாடல்:
tan-இன் வரையறையைப் பயன்படுத்தி எதிர்ப்பக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்:
\[ \tan θ = \frac{\text{முன் பக்கம்}}{\text{பக்கம்}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{முன் பக்கம்}}{8} \]
சமன்பாட்டைத் தீர்க்க இருபுறமும் 8 ஆல் பெருக்கவும்.
[முன்பக்கம் = 0.75 × 8]
[முன்பக்கம் = 6 செ.மீ]
ஆகவே, முன்பக்கத்தின் நீளம் 6 செ.மீ. ஆகும்.

கேள்வி 3: tan θ தெரிந்தால், கோணம் θ-வைக் கணக்கிடுதல்

கொடுக்கப்பட்டது: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் tan θ = 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அக்கோணம் θ-வின் பெயரைக் குறிப்பிடுக.

கலந்துரையாடல்:
எதிர்ப்பக்கமும் அடுத்துள்ள பக்கமும் நீளத்தில் சமமாக இருக்கும்போது, ​​ஒரு கோணத்தின் டேன்ஜென்ட் மதிப்பு 1-க்குச் சமமாக இருக்கும். அடிப்படை முக்கோணவியலில், இது 45° கோணத்தில் நிகழ்கிறது.
எனவே, θ-வின் மதிப்பு 45° ஆகும்.

கேள்வி 4: இயற்கணிதச் சிக்கல்களில் Tan θ-வைப் பயன்படுத்துதல்

கொடுக்கப்பட்டது: 15 மீட்டர் உயரமுள்ள ஒரு கம்பத்தின் உச்சியிலிருந்து, அதன் அடிபாகத்திலிருந்து 20 மீட்டர் தொலைவில் தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளிக்கு ஒரு கயிறு கட்டப்பட்டுள்ளது. tan θ-வைக் கணக்கிடுக, இங்கு θ என்பது கயிறுக்கும் கம்பத்திற்கும் இடையே உருவாகும் கோணம் ஆகும்.

கலந்துரையாடல்:
பழுப்பு நிறத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்தவும்:
\[ \tan θ = \frac{\text{முன்பக்கம் (கம்பத்தின் உயரம்)}}{\text{பக்கம் (கிடைமட்ட தூரம்)}} \]
\[ \tan θ = \frac{15}{20} \]
பின்னத்தைச் சுருக்குக:
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
எனவே, tan θ-வின் மதிப்பு \( \frac{3}{4} \). ஆகும்.

கேள்வி 5: தூரம் மற்றும் சாய்வுக் கோணத்திலிருந்து உயரத்தைக் கண்டறிதல்

கொடுக்கப்பட்டது: ஒரு பார்வையாளர் ஒரு உயரமான கட்டிடத்திலிருந்து 100 மீட்டர் தொலைவில் நிற்கிறார். பார்வையாளரின் நிலையிலிருந்து கட்டிடத்தின் உச்சி வரையிலான தூரத்தின் tan θ மதிப்பு \(\tan 30^\circ\) ஆகும். கட்டிடத்தின் உயரத்தைக் கண்டறியவும்.

கலந்துரையாடல்:
\(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) என்பது அறியப்படுகிறது.
\[ \tan θ = \frac{\text{முன்பக்கம் (கட்டிட உயரம்)}}{\text{பக்கம் (தூரம்)} } \]
தெரிந்த மதிப்புகளைச் சமன்பாட்டில் பிரதியிடவும்.
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{கட்டிட உயரம்}}{100} \]
உயரத்தைத் தனிமைப்படுத்த இருபுறமும் 100 ஆல் பெருக்கவும்.
[ கட்டிடத்தின் உயரம் = 100/√3 ]
\[ \text{கட்டிட உயரம்} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
[கட்டிட உயரம்] ≈ 57.73 மீட்டர்

ஆகவே, கட்டிடத்தின் உயரம் தோராயமாக 57.73 மீட்டர் ஆகும்.

கேள்வி 6: உயரம் மற்றும் தூரத்திலிருந்து கோணத்தைக் கண்டறிதல்

கொடுக்கப்பட்டது: ஒரு கோபுரத்தின் உயரம் 50 மீட்டர் என்றும், கண்காணிப்புப் புள்ளியிலிருந்து கோபுரத்தின் அடிபாகத்திற்கான கிடைமட்டத் தூரம் 70 மீட்டர் என்றும் உங்களுக்குத் தெரியும். கோபுரத்தின் உச்சிக்கான ஏற்றக் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

கலந்துரையாடல்:
\[ \tan θ = \frac{\text{கோபுர உயரம்}}{\text{கிடைமட்ட தூரம்}} \]
\[ \tan θ = \frac{50}{70} \]
\[ \tan θ = \frac{5}{7} \]
θ-வைக் கண்டறிய, நாம் நேர்மாறு டேன்ஜென்ட் சார்பு (tan⁻¹) அல்லது ஆர்க்டான்-ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
கணிப்பான் அல்லது முக்கோணவியல் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி θ-வின் மதிப்பைக் கண்டறியலாம்.
\[ θ ≈ 35.54° \]

எனவே, கோபுரத்தின் உச்சிக்கான ஏற்றக் கோணம் சுமார் 35.54° ஆகும்.

முடிவுரை

முக்கோணவியல் என்பது அறிவியலின் பல துறைகளில் ஒரு சக்திவாய்ந்த கருவியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, டேன்ஜென்ட் என்பது கோணங்கள் மற்றும் பக்க நீளங்கள் தொடர்பான பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்கப் பயன்படும் ஒரு எளிய ஆனால் சக்திவாய்ந்த விகிதமாகும். அதன் வரையறையையும், அதை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதையும் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், நாம் பரந்த அளவிலான வடிவியல் மற்றும் இயற்பியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்க முடியும். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டைப் போன்ற சிக்கல்களைப் பயிற்சி செய்வதன் மூலம், அன்றாடக் கணக்கீடுகளில் tan θ-வைப் பயன்படுத்துவதில் நாம் அதிகத் திறமை பெறலாம்.