வட்டத்தின் சமன்பாடு குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விக்கான எடுத்துக்காட்டு

வட்டத்தின் சமன்பாடு குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விக்கான எடுத்துக்காட்டு

வட்டத்தின் சமன்பாடு என்பது பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் ஒரு முக்கியமான தலைப்பாகும். வட்டத்தின் சமன்பாட்டைப் பற்றிய நல்ல புரிதல், கணிதத்தில் மட்டுமல்லாமல், பல்வேறு பொறியியல் மற்றும் அறிவியல் பயன்பாடுகளிலும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இந்தக் கட்டுரையில், வட்டத்தின் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுகள் தொடர்பான பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பற்றி விவாதிப்போம். வட்டத்தின் சமன்பாடுகள் சம்பந்தப்பட்ட கணக்குகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது குறித்த தெளிவான மற்றும் விரிவான கண்ணோட்டத்தை வழங்குவதே இதன் நோக்கமாகும்.

வட்டத்தின் பொதுச் சமன்பாடு

கார்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகளில் ஒரு வட்டத்தின் மிகவும் பொதுவான சமன்பாடு:

\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]

எங்கே:
– \( (a, b) \) என்பவை வட்டத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும்.
– \( r \) என்பது வட்டத்தின் ஆரம்.

வட்டத்தின் மையம் \( (0, 0) \) என்ற புள்ளியில் இருந்தால், வட்டத்தின் சமன்பாடு:

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

இப்போது, ​​சில எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளையும் அவற்றின் தீர்வுகளையும் பற்றி விவாதிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1

கேள்வி: (3, -2) என்ற புள்ளியை மையமாகக் கொண்டு, 5 என்ற ஆரத்தைக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

வட்டத்தின் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]

\( a = 3 \), \( b = -2 \), மற்றும் \( r = 5 \) ஆகிய மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:

\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

ஆகவே, வட்டத்தின் சமன்பாடு:

\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2

கேள்வி: ஆதிப்புள்ளியை (0, 0) மையமாக கொண்டு, 7 ஆரம் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

வட்டத்தின் மையம் ஆதிப்புள்ளியில் இருப்பதால், நாம் இந்த எளிய சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்:

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

\( r = 7 \) என்ற மதிப்பைப் பிரதியிடவும்:

\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]

ஆகவே, வட்டத்தின் சமன்பாடு:

\[ x^2 + y^2 = 49 \]

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 3

கேள்வி: (4, -5) என்ற புள்ளியை மையமாகக் கொண்டு Y அச்சைத் தொடும் வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

Y-அச்சைத் தொடும் ஒரு வட்டம் என்றால், அந்த வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து Y-அச்சு வரையிலான தூரம் அதன் ஆரத்திற்குச் சமம். இந்தத் தூரம், வட்டத்தின் மையத்தின் X-ஆயத்தொலைவின் தனிமதிப்பாகும். எனவே, ஆரம் 4 ஆகும்.

வட்டத்தின் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]

\( a = 4 \), \( b = -5 \), மற்றும் \( r = 4 \) ஆகிய மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:

\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]

ஆகவே, வட்டத்தின் சமன்பாடு:

\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 4

கேள்வி: ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு \( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \) ஆகும். அந்த வட்டத்தின் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

இந்தச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நாம் அதைத் திட்ட வடிவமான \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \) க்கு மாற்ற வேண்டும். அதை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள் பின்வருமாறு:

1. முழு வர்க்கங்களை குழுவாக்குதல் மற்றும் தீர்த்தல்:

ஆரம்ப சமன்பாடு:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]

குழு \( x \) மற்றும் \( y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]

2. முழு வர்க்கத்தைத் தீர்க்கவும்:

\( x^2 – 6x \):
\[ x^2 – 6x + 9 \]

\( y^2 + 4y \):
\[ y^2 + 4y + 4 \]

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் 9 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும்:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

எனவே, ஒரு வட்டத்தின் திட்ட வடிவச் சமன்பாடு:

\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

இங்கிருந்து, வட்டத்தின் மையம் \( (3, -2) \) மற்றும் ஆரம் \( r = \sqrt{25} = 5 \) என்பதைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 5

கேள்வி: (2, 3) மற்றும் (4, 5) ஆகிய புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் மற்றும் x = 3 என்ற கோட்டில் மையத்தைக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

கேள்வியிலிருந்து, வட்டத்தின் மையம் (3, b) என்பது நமக்குத் தெரியும். மேலும், அந்த வட்டம் இரண்டு அறியப்பட்ட புள்ளிகள் வழியாகச் செல்கிறது. வட்டம் (2, 3) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதால், மையத்திலிருந்து இந்தப் புள்ளிக்கு உள்ள தூரமே ஆரம் ஆகும்.

ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு:

\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]

மாற்றுப் புள்ளி (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]

மாற்றுப் புள்ளி (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]

இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்து, (3 – b)^2 = (5 – b)^2 என்று நமக்குத் தெரியும். எனவே:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]

\( 3 – b = 5 – b \) எனில், முடிவு உண்மையாக இருக்க முடியாது. எனவே:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[ b = 4 \]

b = 4 எனில், வட்டத்தின் சமன்பாடு:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]

இருப்பினும், மையம் மற்றும் புள்ளி (2, 3) க்கு இடையேயான தூரத்திலிருந்து ஆரம் r ஐ நாம் கணக்கிடலாம் = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)

வட்டத்தின் சமன்பாடு:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]

முடிவுரை

வட்டத்தின் சமன்பாட்டைப் புரிந்துகொள்வது பல கணிதக் கணக்குகளைத் தீர்ப்பதை எளிதாக்கும். ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும், மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் கண்டறிவது மிக முக்கியமானது. இந்த எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளும் அவற்றின் விளக்கங்களும் உங்களுக்குத் தெளிவைத் தந்து, வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் கற்றுக்கொள்ள உதவும் என்று நம்புகிறோம். கணிதத்தில் பயிற்சி செய்தால் தேர்ச்சி பெறலாம், எனவே உங்கள் திறமைகளை மேம்படுத்திக்கொள்ள பல்வேறு கணக்குகளை முயற்சி செய்யத் தயங்காதீர்கள்.