திசையன் கழித்தல் குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விக்கான எடுத்துக்காட்டு

வெக்டர் கழித்தல் குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் கலந்துரையாடலும்

பெண்டாஹுலுவான்

கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில், பல இயற்கை மற்றும் பொறியியல் நிகழ்வுகளை விளக்குவதற்கு வெக்டர்கள் ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகப் பயன்படுகின்றன. வெக்டர் என்பது எண்மதிப்பு மற்றும் திசை ஆகிய இரண்டையும் கொண்ட ஒரு அளவாகும். இடப்பெயர்வு, திசைவேகம், முடுக்கம் மற்றும் விசை ஆகியவை வெக்டர்களுக்கான சில முக்கியமான எடுத்துக்காட்டுகள் ஆகும். இந்தக் கட்டுரையில், நாம் வெக்டர் கழித்தலைப் பற்றி விவாதிப்போம், இருப்பினும் இந்தத் தலைப்பு பெரும்பாலும் வெக்டர் சேர்க்கையின் சூழலிலேயே வலியுறுத்தப்படுகிறது.

திசையன் கழித்தல் என்பது திசையன் பகுப்பாய்வில் இன்றியமையாத ஒரு அடிப்படைச் செயல்பாடு ஆகும். இந்தக் கருத்தைப் பற்றி மேலும் ஆழமாக அறிந்துகொள்ள, திசையன் கழித்தல் தொடர்பான சில எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளையும் விவாதங்களையும் காண்போம்.

திசையன் கழித்தல்

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} என்ற திசையன் கழித்தல் என்பது, {\displaystyle \mathbf{A}} என்ற திசையனையும் {\displaystyle -\mathbf{B}} என்ற திசையனையும் கூட்டும் செயல்பாடாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு {\displaystyle -\mathbf{B}} என்பது {\displaystyle \mathbf{B}}-ன் அதே அளவு மதிப்பைக் கொண்ட, ஆனால் எதிர் திசையில் உள்ள ஒரு திசையன் ஆகும். கணிதரீதியாக, இதை இவ்வாறு எழுதலாம்:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}

மாதிரி கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்

கேள்வி 1: இரு பரிமாண திசையன்களைக் கழித்தல்

கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகளில் இரண்டு திசையன்கள் இருப்பதாகக் கொள்வோம்:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} மற்றும் {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ஐக் கணக்கிடுக.

கலந்துரையாடல்:

முதல் படி {\displaystyle \mathbf{B}} இன் எதிர்மறை திசையனைக் கண்டுபிடிப்பதாகும், அதாவது:

{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}

அடுத்து, {\displaystyle \mathbf{A}} என்ற வெக்டரை {\displaystyle -\mathbf{B}} உடன் கூட்டவும்:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}

ஒவ்வொரு x மற்றும் y கூறுகளையும் கூட்டி திசையன் கூட்டலைச் செய்யவும்:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}

எனவே, {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} வெக்டர்களைக் கழிப்பதன் விளைவு (3, 1) என்ற வெக்டர் ஆகும்.

கேள்வி 2: முப்பரிமாண திசையன்களைக் கழித்தல்

முப்பரிமாண ஆயங்களில் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு திசையன்கள்:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} மற்றும் {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} ஐக் கணக்கிடுக.

கலந்துரையாடல்:

முதல் படி {\displaystyle \mathbf{Q}} இன் எதிர்மறை திசையனைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்:

{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}

அடுத்து, {\displaystyle \mathbf{P}} என்ற வெக்டரை {\displaystyle -\mathbf{Q}} உடன் கூட்டவும்:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}

ஒவ்வொரு x, y, மற்றும் z கூறுகளையும் கூட்டுவதன் மூலம் திசையன் கூட்டலைச் செய்யவும்:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}

எனவே, {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} என்ற வெக்டர்களைக் கழிப்பதன் விளைவு (5, -9, -1) என்ற வெக்டர் ஆகும்.

கேள்வி 3: சிக்கலெண் தளத்தில் திசையன் கழித்தல்

சிக்கலெண்களால் குறிக்கப்படும் இரண்டு திசையன்கள் இருப்பதாகக் கொள்வோம்:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} மற்றும் {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} ஐக் கணக்கிடுக.

கலந்துரையாடல்:

முதல் படி {\displaystyle \mathbf{N}} இன் எதிர்மறை திசையனைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்:

{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}

அடுத்து, {\displaystyle \mathbf{M}} என்ற வெக்டரை {\displaystyle -\mathbf{N}} உடன் கூட்டவும்:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}

ஒவ்வொரு மெய் மற்றும் கற்பனைக் கூறுகளையும் கூட்டி திசையன் கூட்டலைச் செய்யவும்:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}

எனவே, {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} என்ற வெக்டர்களைக் கழிப்பதன் விளைவு 2 + 2i என்ற சிக்கலெண் ஆகும்.

கேள்வி 4: துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் திசையன் கழித்தல்

துருவ ஆயத்தொலைவுகளில் இரண்டு திசையன்கள் இருப்பதாகக் கொள்வோம்:
{\displaystyle \mathbf{U}} இன் பருமன் 5 மற்றும் கோணம் 30° ஆகும்.
மற்றும் {\displaystyle \mathbf{V}} இன் எண்மதிப்பு 3 மற்றும் கோணம் 150° ஆகும்.
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} ஐக் கணக்கிடுங்கள்.

கலந்துரையாடல்:

முதல் படி, {\displaystyle \mathbf{U}} மற்றும் {\displaystyle \mathbf{V}} ஆகிய வெக்டர்களை கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகளாக மாற்றுவதாகும்.
{\displaystyle \mathbf{U}}க்கு:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}

எனவே கார்டீசியனில் {\displaystyle \mathbf{U}} என்பது (4.33, 2.5) ஆகும்.

{\displaystyle \mathbf{V}}க்கு:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}

எனவே கார்டீசியனில் {\displaystyle \mathbf{V}} என்பது (-2.598, 1.5) ஆகும்.

அடுத்த கட்டமாக, கார்ட்டீசியன் முறையில் திசையன் கழித்தலைக் கணக்கிடவும்:

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}

அதாவது, திசையனின் எதிர்மறையைச் சேர்ப்பதன் மூலம்:

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}

எனவே, கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகளில் உள்ள {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} திசையனைக் கழிப்பதன் விளைவு (6.928, 1) ஆகும்.

முடிவுரை

திசையன் பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தும் பல துறைகளில், திசையன் கழித்தல் ஒரு இன்றியமையாத கணிதச் செயல்பாடாகும். இரு பரிமாண, முப்பரிமாண, சிக்கலெண் அல்லது துருவ ஆய அச்சு அமைப்புகளில் இருந்தாலும், அதன் அடிப்படைக் கொள்கை ஒன்றாகவே உள்ளது: ஒரு திசையனை மற்றொரு திசையனின் எதிர்மறை எண்ணுடன் கூட்டுவதே அது. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள், வெவ்வேறு சூழல்களில் இந்தச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கான பல்வேறு வழிகளை விளக்குகின்றன. இதன் மூலம், இந்தக் கருத்தை நாம் மேலும் ஆழமாகவும் நடைமுறை ரீதியாகவும் புரிந்துகொள்ள முடிகிறது.