ஒரு தட்டையான தளத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதில் தொகையீடுகளின் பயன்பாடு குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்
கணிதக் கற்பித்தலில், தொகையீடுகள் நுண்கணிதத்தில் அடிக்கடி காணப்படுகின்றன. தொகையீடுகளின் மிகவும் அறியப்பட்ட பயன்பாடுகளில் ஒன்று, ஒரு வளைவு அல்லது தளத்தின் கீழுள்ள பரப்பைக் கணக்கிடுவதாகும். இந்தக் கட்டுரை பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளை விவாதித்து, ஒரு தளத்தின் பரப்பைக் கணக்கிடுவதில் தொகையீடுகளின் பயன்பாட்டைப் பற்றி விளக்கும்.
கோட்பாட்டிற்கான அறிமுகம்
எடுத்துக்காட்டு கணக்கிற்குச் செல்வதற்கு முன், தொகையீடுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு வளைகோட்டிற்குக் கீழுள்ள பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான அடிப்படைக் கருத்தை மீள்பார்வை செய்வோம். [a, b] என்ற இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான ஒரு சார்பு f(x) நம்மிடம் இருந்தால், x = a முதல் x = b வரை y = f(x) என்ற வளைகோட்டிற்குக் கீழுள்ள பரப்பளவு:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
வடிவியல் ரீதியாக, இதன் பொருள் நாம் x = a முதல் x = b வரையிலான மிக மெல்லிய செவ்வகத்தின் பரப்பளவைக் கூட்டுகிறோம் என்பதாகும்.
எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1
சோல்
[1, 3] இடைவெளியில் y = x² வளைவின் கீழ் உள்ள பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்.
கலந்துரையாடல்
பரப்பளவைக் கணக்கிட, நாம் தொகையீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
நாம் முதலில் \( x^2 \)-இன் எதிர்வகையீட்டைக் கண்டுபிடிப்போம். \( x^2 \)-இன் எதிர்வகையீடு \( \frac{x^3}{3} \) ஆகும். அப்போது தொகையீடு பின்வருமாறு அமையும்:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
தொகையீட்டின் எல்லைகளில் எதிர்வகையீட்டை நாம் மதிப்பிட வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
[ L = \frac{26}{3} ]
எனவே, x = 1 முதல் x = 3 வரை y = x² என்ற வளைவரைக்குக் கீழுள்ள பரப்பளவு:
\[ \frac{26}{3} \, \text{பரப்பளவு அலகு} \]
எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2
சோல்
y = x³ என்ற வளைவரை மற்றும் x = 1, x = 2 என்ற கோடுகளால் சூழப்பட்ட பகுதியின் பரப்பளவைக் காண்க.
கலந்துரையாடல்
பரப்பளவைக் கணக்கிட, நாம் தொகையீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
வழக்கம் போல், நாம் \( x^3 \)-இன் எதிர்வகையீட்டைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் தொடங்குகிறோம். \( x^3 \)-இன் எதிர்வகையீடு \( \frac{x^4}{4} \) ஆகும். தொகையீடு பின்வருமாறு அமைகிறது:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
தொகையீட்டின் எல்லைகளை மதிப்பிடுக:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
[ L = \frac{15}{4} ]
எனவே, x = 1 முதல் x = 2 வரை y = x³ என்ற வளைவரைக்குக் கீழுள்ள பரப்பளவு:
\[ \frac{15}{4} \, \text{பரப்பளவு அலகு} \]
எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 3
சோல்
x = 0 முதல் x = 1 வரையிலான இடைவெளியில், y = x² + 1 மற்றும் y = 2x + 2 ஆகிய வளைகோடுகளால் சூழப்பட்ட பகுதியின் பரப்பளவைக் காண்க.
கலந்துரையாடல்
முதலில், தொகையீட்டின் எல்லைகளைத் தீர்மானிக்க நாம் வெட்டுப் புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். \( x^2 + 1 = 2x + 2 \) என்பதன் தீர்வு:
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
இருப்பினும், 0 மற்றும் 1-க்கு இடையிலான மேல் மற்றும் கீழ் எல்லைகளுக்கு, நாம் இருபடித் தீர்வைப் பயன்படுத்தத் தேவையில்லை, 0 முதல் 1 வரையிலான சாதாரண தொகையீட்டு எல்லையைப் பயன்படுத்தினால் போதுமானது. அடுத்து, இந்த எல்லைகளின்படி, மேல் y வளைவின் பரப்பிலிருந்து கீழ் y வளைவின் பரப்பைக் கழித்ததன் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
செயல்பாட்டு எளிமைப்படுத்தல்:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
அடுத்து, நாம் எதிர்வகையீட்டைக் காண்கிறோம்:
\( (-x^2) \) இன் எதிர்வகைக்கெழு \( -\frac{x^3}{3} \) ஆகும்.
\( (2x) \) இன் எதிர்வகைக்கெழு \( x^2 \) ஆகும்.
\( (1) \) இன் எதிர்வகைக்கெழு \( x \).
அதனால்,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
அடுத்த மதிப்பீடு:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
[ L = \frac{5}{3} ]
எனவே, [0, 1] இடைவெளியில் y = x² + 1 மற்றும் y = 2x + 2 என்ற வளைகோடுகளால் சூழப்பட்ட பகுதியின் பரப்பளவு:
\[ \frac{5}{3} \, \text{பரப்பளவு அலகு} \]
-
மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, ஒரு வளைகோட்டிற்குக் கீழுள்ள அல்லது இரண்டு வளைகோடுகளுக்கு இடையேயான பரப்பளவைக் கணக்கிட தொகையீடுகளை எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம் என்பதை நாம் காணலாம். தொகையீடுகள் மற்றும் எதிர்வகையீட்டு நுட்பங்களின் அடிப்படைக் கருத்துக்களைச் சரியாகப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், இந்தப் பரப்பளவுகளைக் கணக்கிடுவது மிகவும் முறைப்படுத்தப்பட்டதாகவும் திறமையானதாகவும் அமைகிறது. இந்தக் கட்டுரை, நிஜ உலகில், குறிப்பாகத் தளப் பரப்புகளின் பரப்பளவை அளவிடும் துறையில், தொகையீடுகளின் பயன்பாடு குறித்த நமது புரிதலை அதிகரித்திருக்கும் என்று நம்புகிறோம்.
