கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விக்கான எடுத்துக்காட்டு

கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவு குறித்து விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுக்கான அறிமுகம்

நிகழ்தகவு என்பது ஒரு நிகழ்வு நடப்பதற்கான சாத்தியக்கூறுகளைப் பற்றி ஆராயும் கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும். ஒரு கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என்பது, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நிகழ்வுகளை உள்ளடக்கிய ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பகடையில் இரட்டை எண் உருட்டுவதற்கான நிகழ்தகவும், சீட்டுக்கட்டிலிருந்து ஏஸ் (Ace) விழுவதற்கான நிகழ்தகவும் கூட்டு நிகழ்வுகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். இந்தக் கட்டுரை பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளை விவாதித்து, கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவைப் பற்றி விளக்கும்.

கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவின் அடிப்படைக் கருத்து

கூட்டு நிகழ்வுகள் இரண்டு வகைப்படும்:

1. ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்வுகள்: ஒரே நேரத்தில் நிகழ முடியாத இரண்டு நிகழ்வுகள். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பகடையை உருட்டும்போது, ​​2 மற்றும் 5 விழுவது ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்வுகளாகும். ஏனெனில், அந்த இரண்டு எண்களையும் ஒரே நேரத்தில் உருட்டுவது சாத்தியமற்றது.

2. ஒன்றையொன்று விலக்காத நிகழ்வுகள்: ஒரே நேரத்தில் நிகழக்கூடிய இரண்டு நிகழ்வுகள். எடுத்துக்காட்டாக, சீட்டுக்கட்டுகளை எடுக்கும்போது, ​​ஹார்ட் சீட்டை (♥) பெறுவதும், 10 என்ற எண்ணைக் கொண்ட சீட்டைப் பெறுவதும் ஒன்றையொன்று விலக்காத நிகழ்வுகளாகும். ஏனெனில், 10 என்ற எண்ணைக் கொண்ட ஒரு ஹார்ட் சீட்டு உள்ளது.

கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடப் பயன்படும் சில அடிப்படை சூத்திரங்கள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

– P(A அல்லது B) (ஒன்றையொன்று விலக்காத நிகழ்வுகளுக்கு): \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)

– P(A அல்லது B) (ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்வுகளுக்கு): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

– P(A மற்றும் B) (சார்பற்ற நிகழ்வுகளுக்கு): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)

மாதிரி கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1: பகடை

கேள்வி:
ஒரு பகடையில் இரட்டை எண் அல்லது 4-ஐ விடப் பெரிய எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

கலந்துரையாடல்:
முதலில், நிகழ்வுகளை வரையறுப்போம்:
– நிகழ்வு A: ஒரு இரட்டை எண்ணைப் பெறுதல் (2, 4, 6)
– நிகழ்வு B: 4-ஐ விடப் பெரிய எண்ணைப் பெறுதல் (5, 6)

அடுத்து, ஒவ்வொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவையும் நாம் கண்டறிகிறோம்:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

நிகழ்வுகள் A மற்றும் B இரண்டிலும் 6 என்ற எண் இடம்பெற்றுள்ளதால், நாம் \(P(A \cap B)\)-ஐக் கணக்கிட வேண்டும்:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (ஏனெனில் A மற்றும் B ஆகிய இரண்டிலும் 6 என்ற ஒரே ஒரு எண் மட்டுமே அடங்கியுள்ளது)

ஒன்றையொன்று விலக்காத நிகழ்வுகளுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம்:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]

இந்தப் பின்னங்களின் பகுதிகளைச் சமமாக்குவோம்:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

எனவே, ஒரு இரட்டை எண் அல்லது 4-ஐ விடப் பெரிய எண்ணைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{2}{3}\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2: சீட்டுக்கட்டுகள்

கேள்வி:
ஒரு சீட்டுக்கட்டிலிருந்து ஏஸ் அல்லது ஸ்பேட் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

கலந்துரையாடல்:
முதலில், நிகழ்வுகளை வரையறுப்போம்:
– நிகழ்வு A: ஒரு ஏஸ் சீட்டைப் பெறுதல் (மொத்தம் 4, ஒவ்வொரு வகைக்கும் ஒன்று)
– நிகழ்வு B: ஸ்பேட் அட்டை பெறுதல் (மொத்தம் 13)

அடுத்து, ஒவ்வொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவையும் நாம் கண்டறிகிறோம்:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)

ஸ்பேட்ஸ் ஏஸ், நிகழ்வுகள் A மற்றும் B இரண்டிலும் இடம்பெற்றுள்ளதால், நாம் \(P(A \cap B)\)-ஐக் கணக்கிட வேண்டும்:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)

ஒன்றையொன்று விலக்காத நிகழ்வுகளுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம்:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]

இந்தப் பின்னங்களின் பகுதிகளைச் சமமாக்குவோம்:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]

எனவே, ஏஸ் அல்லது ஸ்பேட் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{4}{13}\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கணக்கு 3: பெட்டியில் பந்து

கேள்வி:
ஒரு பெட்டியில் 3 சிவப்புப் பந்துகள், 4 நீலப் பந்துகள் மற்றும் 5 பச்சை நிறப் பந்துகள் உள்ளன. சீரற்ற முறையில் ஒரு பந்து எடுக்கப்பட்டால், சிவப்புப் பந்து அல்லது பச்சை நிறப் பந்து கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

கலந்துரையாடல்:
முதலில், நிகழ்வுகளை வரையறுப்போம்:
– நிகழ்வு A: சிவப்புப் பந்து (எண் 3) பெறுதல்
– நிகழ்வு B: ஒரு பச்சை நிறப் பந்தைப் பெறுதல் (எண் 5)

அடுத்து, ஒவ்வொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவையும் நாம் கண்டறிகிறோம்:
– பந்துகளின் மொத்த எண்ணிக்கை = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)

எந்தப் பந்தும் ஒரே நேரத்தில் சிவப்பாகவும் பச்சையாகவும் இருக்க முடியாது என்பதால், இந்த நிகழ்வுகள் ஒன்றையொன்று விலக்குபவை:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]

இந்தப் பின்னங்களின் பகுதிகளைச் சமமாக்குவோம்:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]

எனவே, சிவப்பு பந்து அல்லது பச்சை பந்து கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{2}{3}\) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 4: இரண்டு நாணயங்கள்

கேள்வி:
இரண்டு நாணயங்கள் ஒரே நேரத்தில் சுழற்றப்பட்டால், குறைந்தபட்சம் ஒரு தலை விழுவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?

கலந்துரையாடல்:
குறைந்தது ஒரு பிம்பத்தையாவது காண்பதை நிகழ்வு A என வரையறுக்கிறோம்.
இரண்டு நாணயங்களைச் சுண்டுவதால் நான்கு சாத்தியமான விளைவுகள் ஏற்படலாம்:
1. எச்.எச்.
2. எச்.டி.
3. டிஹெச்
4. டிடி

குறைந்தது ஒரு படத்தையாவது கொண்டிருக்கும் நிகழ்வுகள்:
– எச்.டி.
– டி.எச்.
– டிடி

ஒவ்வொன்றின் நிகழ்தகவையும் கணக்கிடுவோம்:
– சாத்தியமான நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை (மொத்தம்): 4
– குறைந்தது ஒரு படத்தையாவது கொண்ட நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை: 3

\[
P(A) = \frac{குறைந்தது ஒரு தலை கொண்ட நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை}{மொத்த நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை} = \frac{3}{4}
\]

எனவே, குறைந்தபட்சம் ஒரு படமாவது தோன்றுவதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{3}{4}\) ஆகும்.

முடிவுரை

மேலே உள்ள கணக்குகளைப் பற்றிய விவாதம், ஒரு கூட்டு நிகழ்வு ஒன்றையொன்று விலக்கும் வகையிலோ அல்லது விலக்காத வகையிலோ இருந்தாலும், அதன் நிகழ்தகவை நாம் எவ்வாறு கணக்கிடலாம் என்பதை விளக்குகிறது. அடிப்படைக் கருத்துக்களைப் புரிந்துகொண்டு, சரியான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பல்வேறு அன்றாடச் சூழ்நிலைகளில் நிகழும் சில நிகழ்வுகளின் சேர்க்கைகளுக்கான நிகழ்தகவை நம்மால் கண்டறிய முடியும். கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவைக் கண்டறிவதில் மேலும் தேர்ச்சி பெற, பல்வேறு கணக்குகளைக் கொண்டு உங்கள் திறன்களைத் தொடர்ந்து பயிற்சி செய்யுங்கள்.