மீச்சிறு வர்க்க முறை குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விகளின் எடுத்துக்காட்டு
மீச்சிறு வர்க்க முறை (LEM) என்பது, தரவுகளை மிகவும் திறம்பட முன்கணிக்கும் சிறந்த பொருத்தக் கோட்டைக் கண்டறியப் பயன்படும் ஒரு புள்ளியியல் முறையாகும். சார்பற்ற மற்றும் சார்பு மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவைக் கண்டறிய, இந்த முறை பெரும்பாலும் நேரியல் பின்னடைவுப் பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த முறை எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பற்றிய ஆழமான புரிதலுக்காக, இந்தக் கட்டுரை மீச்சிறு வர்க்க முறையின் அடிப்படைக் கருத்துக்களையும், எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் படிப்படியான விளக்கங்களையும் உள்ளடக்கும்.
குறைந்தபட்ச வர்க்க முறையின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள்
குறைந்த வர்க்கங்கள் முறையின் நோக்கம், உற்றுநோக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கும் பின்னடைவு மாதிரியால் கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான வேறுபாடுகளின் வர்க்கங்களின் தொகையைக் குறைப்பதாகும். ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவுக் கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
\[ y = a + bx \]
எங்கே:
– \( y \) என்பது சார்பு மாறி,
– \( x \) என்பது சார்பற்ற மாறி,
– \( a \) என்பது இடைவெட்டு (\( x = 0 \) ஆக இருக்கும்போது \( y \) இன் மதிப்பு),
– \( b \) என்பது கோட்டின் சாய்வு (சாய்வு, அல்லது பின்னடைவுக் கெழு).
குறைந்த வர்க்கங்கள் முறையானது, பின்வரும் சார்பைச் சிறுமமாக்கும் \( a \) மற்றும் \( b \) ஆகிய அளவுருக்களை மதிப்பிடுகிறது:
\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
இதில் SSE என்பது வர்க்கப் பிழைகளின் கூட்டுத்தொகை, \( y_i \) என்பது உண்மையான மதிப்பு, மற்றும் \( \hat{y_i} = a + bx_i \) என்பது கணிக்கப்பட்ட மதிப்பு ஆகும்.
குறைந்தபட்ச வர்க்க முறை படிகள்
கருத்தைத் தெளிவுபடுத்துவதற்காக, மீச்சிறு வர்க்க முறையைப் பயன்படுத்தும் ஒரு எடுத்துக்காட்டுக் கணக்கைத் தீர்ப்போம்.
சிக்கல்களின் உதாரணம்
பின்வரும் தரவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
| x (படித்த நேரம்) | y (தேர்வு மதிப்பெண்) |
|——————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
தரவுகளுக்கு மிகவும் பொருத்தமான நேரியல் தொடர்பு கோட்டைக் கண்டறியவும்.
கலந்துரையாடல்
1. \( \bar{x} \) மற்றும் \( \bar{y} \) ஆகியவற்றின் சராசரியைக் கணக்கிடுதல்
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. அளவுரு \( b \) (சாய்வு) கணக்கிடுதல்
அளவுரு \( b \) பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:
\[
b = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2}
\]
ஒவ்வொரு கூறுகளையும் கணக்கிடுதல்:
\[
\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
அதனால்:
\[
b = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. அளவுரு \( a \) (வெட்டுப்புள்ளி) ஐக் கணக்கிடுதல்
\( \bar{x} \) மற்றும் \( \bar{y} \) ஆகியவற்றின் சராசரியைப் பயன்படுத்தி:
\[
a = \bar{y} – b\bar{x} = 93 – 2.4 \times 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. பின்னடைவுக் கோட்டுச் சமன்பாட்டை எழுதுதல்
கண்டறியப்பட்ட அளவுருக்களைக் கொண்டு, பின்னடைவுக் கோட்டின் சமன்பாட்டை நாம் எழுதலாம்:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
விளக்கம் மற்றும் சரிபார்ப்பு
இந்த பின்னடைவுக் கோடு பொருந்துவதை உறுதிசெய்ய, ஆரம்பத் தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு x-க்கும் கணிக்கப்பட்ட y-மதிப்பை (\(\hat{y}\)) நாம் கணக்கிடலாம், அத்துடன் கணிப்பின் துல்லியத்தைச் சரிபார்க்க வர்க்கப் பிழைகளின் கூட்டுத்தொகையையும் (SSE) கணக்கிடலாம்.
| x | y | \(\hat{y}\) | \((y – \hat{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
SSS:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
ஒப்பீட்டளவில் சிறிய திட்டப் பிழை (SSE) இருப்பதால், மீச்சிறு வர்க்க முறையால் உருவாக்கப்பட்ட பின்னடைவுக் கோடு இந்தத் தரவுகளுக்கு நன்கு பொருந்துகிறது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.
முடிவுரை
மீச்சிறு வர்க்க முறை என்பது, விலகல்களின் வர்க்கத்தின் அடிப்படையில் முன்கணிப்புப் பிழையைக் குறைத்து, ஒரு தரவுத்தொகுப்பிற்கான சிறந்த பொருத்தக் கோட்டைத் தீர்மானிப்பதற்கான ஒரு சக்திவாய்ந்த புள்ளியியல் பகுப்பாய்வுக் கருவியாகும். சராசரியைக் கணக்கிடுதல், சாய்வு மற்றும் இடைவெட்டை மதிப்பிடுதல், மற்றும் பின்னடைவுக் கோட்டுச் சமன்பாட்டை எழுதிச் சரிபார்த்தல் ஆகிய படிகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், சார்பற்ற மாறிகளிலிருந்து சார்பு மாறியின் மதிப்பை நம்மால் துல்லியமாக முன்கணிக்க முடியும்.
பொருளாதாரம், உயிரியல் புள்ளியியல், பொறியியல் மற்றும் சமூக அறிவியல் போன்ற பின்னடைவுப் பகுப்பாய்வு அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் துறைகளில் இந்த முறையைப் பற்றிய நல்ல புரிதல் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இந்தக் கட்டுரை, உறுதியான எடுத்துக்காட்டுகளுடன், தரவுப் பகுப்பாய்வில் இந்த வழிமுறையின் முக்கியத்துவத்தையும் பயனையும் விளக்குகிறது.
