பெருக்கத் தருணத் தொடர்பு குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விக்கான எடுத்துக்காட்டு

பெருக்கல் கணத் தொடர்பு குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளும் கலந்துரையாடலும்

பியர்சன் தொடர்பு எனவும் அறியப்படும் பெருக்கல்-கணத் தொடர்பு (Product-Moment Correlation), இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையிலான நேரியல் உறவின் வலிமையையும் திசையையும் அளவிடப் பயன்படும் ஒரு புள்ளியியல் முறையாகும். இந்த முறை, கல்வி ஆராய்ச்சி மற்றும் வணிகப் பகுப்பாய்வு முதல் இயற்கை அறிவியலில் உள்ள சோதனைகளின் மதிப்பீடு வரை பல்வேறு துறைகளில் பயனுள்ளதாக உள்ளது. இந்தக் கட்டுரை, பெருக்கல்-கணத் தொடர்பைக் கணக்கிடுவதற்கான பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளையும் அவற்றின் தீர்வுகளையும் விவாதிக்கும்.

பெண்டாஹுலுவான்

எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகளுக்குச் செல்வதற்கு முன், பெருக்கல் கணத் தொடர்பின் (Product Moment Correlation) அடிப்படைக் கருத்தைப் புரிந்துகொள்வது நல்லது. பியர்சன் தொடர்பு குணகத்தை (\(r\)) கணக்கிடப் பயன்படுத்தப்படும் பொதுவான சூத்திரம்:

\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]

எங்கே:
– \( n \) என்பது தரவு ஜோடிகளின் எண்ணிக்கை.
– \( \sum{XY} \) என்பது \( X \) மற்றும் \( Y \) ஆகியவற்றின் பெருக்கல்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.
– \( \sum{X} \) என்பது மாறிகள் \( X \)-இன் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.
– \( \sum{Y} \) என்பது \( Y \) என்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.
– \( \sum{X^2} \) என்பது \( X \) என்ற மாறியின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.
– \( \sum{Y^2} \) என்பது \( Y \) என்ற மாறியின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.

பியர்சனின் ஒட்டுறவுக் கெழு (\( r \)) எப்போதும் -1 மற்றும் 1-க்கு இடையில் இருக்கும். ஒரு நேர்மறை ஒட்டுறவு, இரண்டு மாறிகளும் ஒரே திசையில் நகர்கின்றன என்பதைக் குறிக்கிறது, அதேசமயம் ஒரு எதிர்மறை ஒட்டுறவு, ஒரு மாறி அதிகரிக்கும்போது மற்றொன்று குறைகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. \( r = 0 \) எனில், இரண்டு மாறிகளுக்கும் இடையில் நேரியல் ஒட்டுறவு இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1

தேதி

பின்வருவது 5 மாணவர்களின் கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் தேர்வு மதிப்பெண் தரவுகள் ஆகும்:

| மாணவர் | கணிதம் (X) | இயற்பியல் (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |

தீர்வுக்கான வழிமுறைகள்

1. முக்கியக் கூறுகளைக் கணக்கிடுதல்:

– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369

2. சூத்திரத்தில் உள்ளிடவும்:

\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]

3. முடிவுகளைக் கணக்கிடுதல்:

– தொகுதி: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– பகுதி:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)

\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]

எனவே, கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் தேர்வு மதிப்பெண்களுக்கு இடையேயான பியர்சன் ஒட்டுறவுக் குணகம் 0.633 ஆகும், இது இரு மாறிகளுக்கு இடையே மிதமான நேர்மறை ஒட்டுறவு இருப்பதைக் குறிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2

தேதி

ஒரு நிறுவனத்தின் 6 மாத கால விற்பனை மதிப்பு மற்றும் விளம்பரச் செலவினம் குறித்த தரவுகள் பின்வருமாறு:

மாதம் | விளம்பரம் (X) | விற்பனை (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |

தீர்வுக்கான வழிமுறைகள்

1. முக்கியக் கூறுகளைக் கணக்கிடுதல்:

– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000

2. சூத்திரத்தில் உள்ளிடவும்:

\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]

3. முடிவுகளைக் கணக்கிடுதல்:

– தொகுதி: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– பகுதி:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)

\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]

எனவே, விளம்பரச் செலவுக்கும் விற்பனை மதிப்புக்கும் இடையேயான பியர்சன் ஒட்டுறவுக் குணகம் 0.981 ஆகும், இது இரு மாறிகளுக்கும் இடையே மிகவும் வலுவான நேர்மறை ஒட்டுறவு இருப்பதைக் குறிக்கிறது.

முடிவுரை

பியர்சன் ஒட்டுறவுக் கெழு (\(r\)) என்பது இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையேயான நேரியல் உறவைப் புரிந்துகொள்வதற்கான மிகவும் பயனுள்ள ஒரு கருவியாகும். கொடுக்கப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில், \(r\) மதிப்பை எவ்வாறு கணக்கிடுவது மற்றும் அதை எவ்வாறு விளக்குவது என்பதைப் பார்ப்போம். அதிக ஒட்டுறவு (1 அல்லது -1 க்கு அருகில்) ஒரு வலுவான உறவைக் குறிக்கிறது, அதே சமயம் குறைந்த ஒட்டுறவு (0 க்கு அருகில்) ஒரு பலவீனமான உறவைக் குறிக்கிறது. ஒட்டுறவு என்பது காரண காரிய உறவைக் குறிக்காது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்வது அவசியம்; அது இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையில் ஒரு உறவு உள்ளது என்பதை மட்டுமே குறிக்கிறது.