தீர்மானக் கெழு குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விக்கான எடுத்துக்காட்டு

தீர்மானக் கெழு குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விக்கான எடுத்துக்காட்டு

தீர்மானக் கெழு (R²) என்பது பின்னடைவுப் பகுப்பாய்வில் ஒரு முக்கியமான அளவுருவாகும். இது, ஒரு பின்னடைவு மாதிரியானது தரவுகளின் உண்மையான மாறுபாட்டை எவ்வளவு சிறப்பாக விளக்குகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்தக் கட்டுரையில், ஒரு விரிவான எடுத்துக்காட்டு மற்றும் விவாதத்தின் மூலம் தீர்மானக் கெழுவின் கருத்தை விளக்குவோம்.

தீர்மானக் குணகத்தின் அடிப்படைக் கருத்து

தீர்மானக் கெழு அல்லது \( R^2 \) என்பது 0 முதல் 1 வரையிலான அளவுகோலில் அளவிடப்படுகிறது, இதில்:

– \( R^2 = 0 \) என்பது, பின்னடைவு மாதிரியானது தரவுகளின் மாறுபாட்டைச் சிறிதும் விளக்க இயலவில்லை என்பதைக் குறிக்கிறது.
– \( R^2 = 1 \) என்பது, பின்னடைவு மாதிரியானது தரவுகளின் அனைத்து மாறுபாடுகளையும் மிகச்சரியாக விளக்க வல்லது என்பதைக் காட்டுகிறது.

தீர்மானக் குணகத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான அடிப்படை சூத்திரம்:

\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]

எங்கே:
– SSR (வர்க்கப் பிழைகளின் கூட்டுத்தொகை) என்பது, மாதிரியால் கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கும் உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான வேறுபாடுகளின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.
– SST (மொத்த வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை) என்பது உண்மையான மதிப்பிற்கும் உண்மையான மதிப்புகளின் சராசரிக்கும் இடையிலான வேறுபாடுகளின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

சிக்கல்களின் உதாரணம்

தீர்மானக் கெழுவின் கணக்கீட்டை இன்னும் ஆழமாகப் புரிந்துகொள்ள, ஒரு எடுத்துக்காட்டுக் கணக்கைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

சிக்கல்களுக்கான எடுத்துக்காட்டு:

10 மாணவர்களின் படிப்பு நேரங்களின் எண்ணிக்கை (X) மற்றும் தேர்வு மதிப்பெண்கள் (Y) குறித்த தரவுகள் நம்மிடம் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்:

| மாணவர்கள் | படிப்பு நேரம் (X) | தேர்வு மதிப்பெண் (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |

படிப்பு நேரத்தை (X) அடிப்படையாகக் கொண்டு தேர்வு மதிப்பெண்களை (Y) கணிக்கும் ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியை நாம் உருவாக்குவோம்.

கலந்துரையாடல்

1. ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியை உருவாக்குதல்

ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியானது பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

\[ Y = a + bX \]

எங்கே:
– \( Y \) என்பது கணிக்கப்பட்ட தேர்வு மதிப்பெண் ஆகும்.
– \( X \) என்பது படிப்பு நேரங்களின் எண்ணிக்கை.
– \( a \) என்பது இடைவெட்டு (X = 0 ஆக இருக்கும்போது Y அச்சில் ஏற்படும் வெட்டும் புள்ளி).
– \( b \) என்பது சாய்வு (தொடர்பு கோட்டின் சரிவு).

\( a \) மற்றும் \( b \) ஆகிய அளவுருக்களைக் கணக்கிட, நாம் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]

இங்கு \( n \) என்பது தரவுகளின் எண்ணிக்கை (இந்த நேர்வில் n = 10).

அட்டவணையிலிருந்து நாம் கணக்கிடலாம்:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)

முதலில் b-ஐக் கணக்கிடுவோம்:

\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]

பிறகு, நாம் a-ஐக் கணக்கிடுகிறோம்:

\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]

எனவே, நாம் பெறும் நேரியல் பின்னடைவு மாதிரி இதுதான்:

\[ Y = 56 + 4X \]

2. கணிக்கப்பட்ட மதிப்பை (Y') கணக்கிடுங்கள்

அடுத்து, ஒவ்வொரு \( X \) க்கும் கணிக்கப்பட்ட மதிப்பு \( Y' \) ஐ நாம் கணக்கிடுகிறோம்:

| மாணவர்கள் | படிப்பு நேரம் (X) | தேர்வு மதிப்பெண் (Y) | கணிக்கப்பட்ட மதிப்பெண் (Y') |
|——-|——————–|—————————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |

3. SSR மற்றும் SST-ஐக் கணக்கிடுதல்

அடுத்து, \( R^2 \) ஐப் பெறுவதற்கு SSR மற்றும் SST ஐக் கணக்கிடுகிறோம்.

SSR:

\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
[ SSR = 454 ]

எஸ்.எஸ்.டி:

\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
எங்கே:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]

\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
[ SST = 1107.44 ]

4. தீர்மானக் கெழு \( R^2 \) ஐக் கணக்கிடுதல்:

\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
[ R^2 = 0.59 ]

முடிவுரை

மேற்கண்ட கணக்கீட்டின் மூலம், நாம் தீர்மானக் குணகம் (R2 = 0.59) ஒன்றைப் பெற்றோம். இது, நாம் உருவாக்கிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியானது, படிப்பு நேரங்களின் அடிப்படையில் தேர்வு மதிப்பெண்களில் உள்ள மாறுபாட்டின் சுமார் 59%-ஐ விளக்க முடியும் என்பதைக் குறிக்கிறது. மீதமுள்ள 41% மாறுபாடு, மாதிரியில் சேர்க்கப்படாத பிற காரணிகளால் ஏற்பட்டிருக்கலாம்.

மேற்கண்ட வழிமுறைகளையும் கணக்கீடுகளையும் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், நாம் உருவாக்கும் பின்னடைவு மாதிரியானது தரவுகளின் உண்மையான மாறுபாட்டை எவ்வளவு சிறப்பாக விளக்குகிறது என்பதை மதிப்பிடுவதில் தீர்மானக் குணகத்தின் முக்கியத்துவத்தை நாம் காணலாம். இது புள்ளியியல் பகுப்பாய்வு மற்றும் தரவு மாதிரியாக்கத்தில் மிகவும் பயனுள்ள ஒரு கருவியாகும்.