அதிகரிக்கும் சார்புகள், குறையும் சார்புகள் மற்றும் நிலையான சார்புகள் குறித்த எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்
கணிதச் சார்புகள் என்பது ஒரு ஆழமான தலைப்பாகும், மேலும் அவை பல்வேறு பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. அதிகரிக்கும், குறையும் அல்லது நிலையான நிலைகளின் அடிப்படையில் அவற்றை எவ்வாறு பகுப்பாய்வு செய்யலாம் என்பது அவற்றில் ஒன்றாகும். ஒரு குறிப்பிட்ட கால இடைவெளியில் ஒரு சார்பு அதிகரிக்கிறதா, குறைகிறதா அல்லது மாறிலியாக உள்ளதா என்பதை அறிவது, பொருளாதாரம், இயற்பியல் மற்றும் பொறியியல் உள்ளிட்ட கணிதத்தின் பல்வேறு பயன்பாடுகளில் மிக முக்கியமானதாகும். இந்தக் கட்டுரை, அதிகரிக்கும், குறையும் மற்றும் நிலையான சார்புகள் தொடர்பான எடுத்துக்காட்டுகளையும் அவற்றின் விவாதத்தையும் உள்ளடக்கும்.
ஏறும் சார்புகள், இறங்கும் சார்புகள் மற்றும் நிலையான சார்புகள் என்பவை யாவை?
1. ஏறும் சார்பு: ஒரு சார்பு \( f(x) \) ஆனது, \( I \) இடைவெளியில் ஏறும் சார்பு எனப்படும், \( I \)-இல் உள்ள \( x_1 < x_2 \) என்ற நிபந்தனையுடன் கூடிய ஒவ்வொரு \( x_1 \) மற்றும் \( x_2 \)-க்கும், \( f(x_1) \leq f(x_2) \) எனில். 2. இறங்கும் சார்பு: இதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு சார்பு \( f(x) \) ஆனது, \( I \) இடைவெளியில் உள்ள \( x_1 < x_2 \) என்ற நிபந்தனையுடன் கூடிய ஒவ்வொரு \( x_1 \) மற்றும் \( x_2 \)-க்கும், \( f(x_1) \geq f(x_2) \) எனில், இறங்கும் சார்பு எனப்படும். 3. நிலையான சார்பு: ஒரு சார்பு \( f(x) \) ஆனது, \( I \) இடைவெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு \( x \) க்கும் ஒரே மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால், அதாவது \( f(x) = c \) எனில், அது நிலையான சார்பு எனப்படும்; இங்கு c என்பது ஒரு மாறிலி.
எடுத்துக்காட்டு 1: ஏறும் சார்புகளின் இடைவெளிகளைக் கண்டறிதல். கொடுக்கப்பட்ட சார்பு \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). சார்பு ஏறும் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்! கலந்துரையாடல்: சார்பு ஏறும் இடைவெளிகளைக் கண்டறிய, நாம் சார்பின் முதல் வகைக்கெழுவைக் கண்டறிந்து, பின்னர் வகைக்கெழுவின் குறியைப் பகுப்பாய்வு செய்ய வேண்டும். 1. படி 1: முதல் வகைக்கெழுவைக் கண்டறியவும்: \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. படி 2: மாறுநிலைப்புள்ளியைக் கண்டறியவும்: மாறுநிலைப்புள்ளி என்பது முதல் வகைக்கெழு பூஜ்ஜியமாக அல்லது வரையறுக்கப்படாததாக இருக்கும் புள்ளியாகும். \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] முழு சமன்பாட்டையும் 6 ஆல் வகுக்கவும்: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] இந்த இருபடி சமன்பாட்டை காரணிப்படுத்துகிறோம்: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] எனவே, மாறுநிலை புள்ளிகள் \( x = 2 \) மற்றும் \( x = -1 \) ஆகும். 3. படி 3: மாறுநிலை புள்ளிகளால் உருவாக்கப்பட்ட இடைவெளியில் முதல் வகைக்கெழுவின் குறியைத் தீர்மானிக்கவும்: நாம் \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), மற்றும் \( (2, \infty) \) ஆகிய இடைவெளிகளில் \( f'(x) \) க்கான ஒரு குறி அட்டவணையை உருவாக்குவோம். - \( x \in (-\infty, -1) \): \( x = -2 \) என எடுத்துக்கொள்வோம். \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] \( f'(-2) > 0 \) என்பதால், \( f(x) \) என்பது \( (-\infty, -1) \) என்ற இடைவெளியில் ஏறும் சார்பாகும். – \( x \in (-1, 2) \) எனில்: \( x = 0 \) என எடுத்துக்கொள்க
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
\( f'(0) < 0 \) என்பதால், \( f(x) \) என்பது \( (-1, 2) \) இடைவெளியில் குறைகிறது. - \( x \in (2, \infty) \) க்கு: \( x = 3 \) என எடுத்துக்கொண்டால் \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] \( f'(3) > 0 \) என்பதால், \( f(x) \) என்பது \( (2, \infty) \) இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது.
எனவே, சார்பு \( f(x) \) என்பது \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) என்ற இடைவெளியில் ஏறுமுகமாக உள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு கணக்கு 2: குறையும் சார்பு இடைவெளியைக் கண்டறிதல்
\( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \) என்ற சார்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. சார்பு குறையும் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்!
கலந்துரையாடல்:
1. படி 1: முதல் வகைக்கெழுவைக் காண்க:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. படி 2: நெருக்கடிப் புள்ளியைத் தீர்மானிக்கவும்:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
எனவே, மாறுநிலைப்புள்ளிகள் \( x = 0 \) மற்றும் \( x = \frac{3}{2} \) ஆகும்.
3. படி 3: கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் முதல் வகைக்கெழுவின் குறியைக் கண்டறியவும்:
– \( x \in (-\infty, 0) \) எனில்: \( x = -1 \) என எடுத்துக்கொள்.
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
\( g'(-1) < 0 \) என்பதால், \( g(x) \) என்பது \( (-\infty, 0) \) என்ற இடைவெளியில் குறைகிறது.
எனவே, சார்பு \( g(x) \) ஆனது \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \) என்ற இடைவெளியில் குறைகிறது.
எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 3: ஓய்வு நிலையில் உள்ள ஒரு சார்பின் இடைவெளியைக் கண்டறிதல்
\( h(x) = 7 \) என்ற சார்பு கொடுக்கப்பட்டால், சார்பு நிலையாக இருக்கும் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்!
கலந்துரையாடல்:
\( h(x) = 7 \) போன்ற ஒரு மாறிலிச் சார்புக்கு, அனைத்து \( x \)-களுக்கும் முதல் வகைக்கெழு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்:
\[ h'(x) = 0 \]
முதல் வகைக்கெழு எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், இந்தச் சார்பு முழு ஆட்களத்திலும் நிலையானது. எனவே, \( h(x) = 7 \) என்ற சார்பு அனைத்து மெய் எண்களிலும் நிலையானது என்று கூறலாம், இது இடைவெளிக் குறியீட்டில் \( (-\infty, \infty) \) ஆகும்.
முடிவுரை
ஒரு சார்பின் ஏறும், இறங்கும் மற்றும் நிலையான நிலைகளின் இடைவெளிகளைப் புரிந்துகொள்வது சார்புப் பகுப்பாய்வின் ஒரு இன்றியமையாத பகுதியாகும். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம், இந்த இடைவெளிகளைக் கண்டறியத் தேவையான அடிப்படைக் கருத்துக்களையும் படிகளையும் நாம் பார்த்துள்ளோம். இந்த அறிவு, கணிதத்தின் பல்வேறு நடைமுறை மற்றும் கோட்பாட்டுப் பயன்பாடுகளில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது.
