கணித விரிவாக்கம் குறித்த கலந்துரையாடல் கேள்விக்கான எடுத்துக்காட்டு

கணித விரிவாக்க கலந்துரையாடல் கேள்விகளுக்கான எடுத்துக்காட்டு

விரிவாக்கம் அல்லது பெரிதாக்குதல் மற்றும் சுருக்குதலை உள்ளடக்கிய உருமாற்றம் என்பது, உருமாற்ற வடிவவியலில் ஒரு முக்கியமான கருத்தாகும். இந்தக் கருத்து, வடிவங்களின் ஆய்வு, சமச்சீர்மை மற்றும் பல நிஜ வாழ்க்கை பயன்பாடுகள் போன்ற பல்வேறு சூழல்களில் அடிக்கடி காணப்படுகிறது. இந்தக் கட்டுரை, கணிதத்தில் விரிவாக்கம் என்ற கருத்தைப் பற்றி விவாதித்து, பல எடுத்துக்காட்டு கணக்குகளையும் அவற்றின் தீர்வுகளையும் வழங்கும்.

விரிவடைதல் என்றால் என்ன?

விரிவாக்கம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு காரணியால் ஒரு உருவத்தைப் பெரிதாக்குதல் அல்லது சுருக்குதல் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கிய ஒரு வடிவியல் உருமாற்றம் ஆகும். விரிவாக்கத்தில், ஒரு வடிவியல் உருவத்தின் மீதான ஒரு புள்ளி, விரிவாக்கத்தின் மையப் புள்ளியிலிருந்து அதே காரணியால் விலகிச் செல்லும் அல்லது நெருங்கி வரும். விரிவாக்கமானது, உருவத்தைப் பெரிதாக்கலாம் (அளவு காரணி > 1), சுருக்கலாம் (0 < அளவு காரணி < 1), அல்லது அளவு காரணி எதிர்மறையாக இருந்தால் உருவத்தைப் பிரதிபலிக்கவும் செய்யலாம். விரிவாக்கத்தில் உள்ள குறியீடுகள் விரிவாக்கத்தைச் செய்யும்போது, ​​பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் சில குறியீடுகள் பின்வருமாறு: - விரிவாக்க மையம் (P): விரிவாக்கச் செயல்பாட்டில் ஒரு குறிப்பாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு நிலையான புள்ளி. - அளவு காரணி (k): எவ்வளவு பெரிதாக்குதல் அல்லது சுருக்குதல் நிகழ்கிறது என்பதைத் தீர்மானிக்கும் நீளங்களின் விகிதம். \( k > 1 \) எனில், பொருள் பெரிதாக்கப்படும். \( 0 < k < 1 \) எனில், பொருள் சுருக்கப்படும்.

(x, y) என்ற ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட புள்ளி A, k என்ற அளவு காரணியுடன் புள்ளி A' ஆக விரிவாக்கப்பட்டு, விரிவாக்க மையம் O (0,0) இல் இருந்தால், A' இன் ஆயத்தொலைவுகள் (kx, ky) ஆகும். விரிவாக்க சூத்திரம்: ஒரு புள்ளியின் விரிவாக்கப்பட்ட முடிவின் புதிய ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] இதில் (x, y) என்பது புள்ளியின் ஆரம்ப ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் k என்பது அளவு காரணி ஆகும். எடுத்துக்காட்டு கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல் எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1 புள்ளி A (2, 3) ஆனது 2 என்ற அளவு காரணியுடன் விரிவாக்கப்பட்டு, விரிவாக்க மையம் O (0, 0) இல் உள்ளது. விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு புள்ளி A இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும். கலந்துரையாடல்: புள்ளி A இன் ஆயத்தொலைவுகள் (2, 3), அளவு காரணி k = 2, மற்றும் விரிவாக்க மையம் புள்ளி O (0, 0) ஆகும். விரிவாக்க சூத்திரத்தின்படி: \[ A' = (kx, ky) = (2 · 2, 2 · 3) = (4, 6) \] எனவே, விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு புள்ளி A-யின் ஆயத்தொலைவுகள் (4, 6) ஆகும். எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2 புள்ளி B (-1, 4) ஆனது 0,5 என்ற அளவு காரணியுடன் விரிவாக்கப்படுகிறது மற்றும் விரிவாக்க மையம் O (0, 0) இல் உள்ளது. விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு புள்ளி B-யின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும். தீர்வு: புள்ளி B-யின் ஆயத்தொலைவுகள் (-1, 4), அளவு காரணி k = 0,5, மற்றும் விரிவாக்க மையம் புள்ளி O (0, 0) ஆகும். விரிவாக்க சூத்திரத்தின்படி: \[ B' = (kx, ky) = (0,5 · -1, 0,5 · 4) = (-0,5, 2) \] எனவே, விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு புள்ளி B-யின் ஆயத்தொலைவுகள் (-0,5, 2) ஆகும். எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 3 புள்ளி C (3, -2) ஆனது -1 என்ற அளவு காரணியுடன் விரிவாக்கப்படுகிறது மற்றும் விரிவாக்க மையம் O (0, 0) இல் உள்ளது. விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு புள்ளி C-யின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும். தீர்வு: புள்ளி C-யின் ஆயத்தொலைவுகள் (3, -2), அளவு காரணி k = -1, மற்றும் விரிவாக்க மையம் புள்ளி O (0, 0) இல் உள்ளது. விரிவாக்க சூத்திரத்தின்படி: \[ C' = (kx, ky) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot -2) = (-3, 2) \] எனவே, விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு புள்ளி C-யின் ஆயத்தொலைவுகள் (-3, 2) ஆகும். எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 4 புள்ளி D (2, 5) ஆனது 3 என்ற அளவு காரணியுடன் விரிவாக்கப்படுகிறது மற்றும் விரிவாக்க மையம் P (1, 1) இல் உள்ளது. விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு புள்ளி D-யின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும். விவாதம்: புள்ளி D-யின் ஆயத்தொலைவுகள் (2, 5), அளவு காரணி k = 3, மற்றும் விரிவாக்க மையம் புள்ளி P (1, 1) ஆகும். முதலில், நாம் புள்ளி D-ஐ விரிவாக்க மையம் P (1, 1)-இன் ஆயத்தொலைவு அமைப்புக்கு நகர்த்துகிறோம்: P-ஐப் பொறுத்து D-யின் சார்பு ஆயத்தொலைவுகள்: \[ D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4) \] புள்ளி D_r-இல் அளவு காரணி k உடன் ஒரு விரிவாக்கத்தைச் செய்கிறோம்: \[ D_r' = (kx, ky) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (3, 12) \] இறுதியாக, நாம் புள்ளி D_r'-ஐ ஆரம்ப ஆயத்தொலை அமைப்புக்குத் திரும்பக் கொண்டு வருகிறோம்: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] எனவே, விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு புள்ளி D-யின் ஆயத்தொலைவுகள் (4, 13) ஆகும். எடுத்துக்காட்டுக் கேள்வி 5 புள்ளி E (-2, -3) ஆனது 0,25 என்ற அளவு காரணியுடன் விரிவாக்கப்படுகிறது மற்றும் விரிவாக்க மையம் P (-1, -1) இல் உள்ளது. விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு புள்ளி E-யின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும். தீர்வு: புள்ளி E-யின் ஆயத்தொலைவுகள் (-2, -3), அளவு காரணி k = 0,25, மற்றும் விரிவாக்க மையம் புள்ளி P (-1, -1) ஆகும். முதலில், நாம் புள்ளி E-ஐ விரிவாக்க மைய ஆய அச்சு அமைப்பான P (-1, -1)-க்கு நகர்த்துகிறோம்: P-ஐப் பொறுத்து E-இன் சார்பு ஆய அச்சுக்கள்: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] புள்ளி E_r-இல் k என்ற அளவு காரணியுடன் ஒரு விரிவாக்கத்தைச் செய்கிறோம்: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 \cdot -1, 0,25 \cdot -2) = (-0,25, -0,5) \] இறுதியாக, நாம் புள்ளி E_r'-ஐ அசல் ஆய அச்சு அமைப்புக்குத் திரும்பக் கொண்டு வருகிறோம்: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] எனவே, விரிவாக்கத்திற்குப் பிறகு புள்ளி E-இன் ஆய அச்சுக்கள் (-1,25, -1,5) ஆகும். முடிவுரை: விரிவாக்கம் என்பது ஒரு வடிவியல் உருவத்தை ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு காரணியால் பெரிதாக்கும் அல்லது சுருக்கும் ஒரு வடிவியல் உருமாற்றம் ஆகும். விரிவாக்கத்தின் கருத்து மற்றும் பயன்பாட்டைப் புரிந்துகொள்வது, பல்வேறு ஆய்வுத் துறைகளில், குறிப்பாக வடிவியலில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்களுடன், இது மாணவர்கள் மற்றும் வாசகர்களுக்கு பல்வேறு கணிதச் சூழல்களில் விரிவாக்கம் என்ற கருத்தை நன்கு புரிந்துகொள்ளவும் பயன்படுத்தவும் உதவும் என்று நம்பப்படுகிறது.