கூட்டுத் தொடர்களைப் பற்றி விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

கூட்டுத் தொடர்களைப் பற்றி விவாதிக்கும் எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

கூட்டுத் தொடர்கள் என்பது கணிதத்தில் ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும். இது இடைநிலைப் பள்ளி மற்றும் உயர் கல்வி ஆகிய இரண்டிலும் பல்வேறு கணக்குகளில் அடிக்கடி இடம்பெறுகிறது. இந்தக் கருத்தின்படி, ஒவ்வொரு உறுப்பும் முந்தைய உறுப்புடன் ஒரு மாறிலி எண்ணைக் கூட்டுவதன் அல்லது கழிப்பதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் எண்களின் தொடராகும். இந்தக் கட்டுரையில், கூட்டுத் தொடர்கள் என்ற கருத்தை மேலும் புரிந்துகொள்வதற்காக, பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளையும் அவற்றின் தீர்வுகளையும் பற்றி விவாதிப்போம்.

எண்கணிதத் தொடர்களைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

கூட்டுத்தொடர் என்பது அடுத்தடுத்த இரண்டு உறுப்புகளுக்கு இடையில் ஒரு மாறாத வித்தியாசத்தைக் (difference) கொண்ட ஒரு தொடர் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கூட்டுத்தொடரில் முதல் உறுப்பு \(a\) மற்றும் வித்தியாசம் \(d\) எனில், அதன் உறுப்புகளைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]

இந்தத் தொடரின் n-ஆவது உறுப்பைக் கண்டுபிடிக்க விரும்பினால், n-ஆவது உறுப்புக்கான (\(U_n\)) சூத்திரம்:

\[ U_n = a + (n-1)d \]

இதற்கிடையில், ஒரு கூட்டுத் தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை (\(S_n\)) பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]

மாதிரி கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1

கேள்வி: முதல் உறுப்பு \(a = 5\) மற்றும் பொது வித்தியாசம் \(d = 3\) கொண்ட ஒரு கூட்டுத் தொடர் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அத்தொடரின் 10வது உறுப்பைக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

10வது உறுப்பைக் (\(U_{10}\)) கண்டுபிடிக்க, நாம் n-வது உறுப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]

ஆகவே, இந்தத் தொடரின் 10வது உறுப்பு 32 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2

கேள்வி: முதல் உறுப்பு \(a = 4\) மற்றும் பொது வித்தியாசம் \(d = 7\) கொண்ட கூட்டுத் தொடரின் முதல் 15 உறுப்புகளின் கூடுதலைக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

முதல் 15 உறுப்புகளின் கூடுதலை (\(S_{15}\)) கண்டறிய, முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதலுக்கான சூத்திரத்தை நாம் பயன்படுத்தலாம்:

\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]

எனவே, தொடரின் முதல் 15 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 795 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 3

கேள்வி: ஒரு கூட்டுத் தொடரின் 5வது உறுப்பு 20 மற்றும் 12வது உறுப்பு 48 எனில், அத்தொடரின் முதல் உறுப்பு (\(a\)) மற்றும் பொது வித்தியாசம் (\(d\)) ஆகியவற்றைக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளிலிருந்து:

\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]

இரண்டு மாறிகளைக் கொண்ட இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளை நாம் தீர்க்க முடியும்:

1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)

சமன்பாடு 1-இலிருந்து, \(a\)-ஐ \(d\)-இன் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம்:

\[ a = 20 – 4d \]

இப்போது நாம் \(a\) ஐ சமன்பாடு 2 இல் பிரதியிடுகிறோம்:

\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ ஈ = 4 \]

இப்போது நாம் \(d\) இன் மதிப்பை \(a = 20 – 4d\) என்ற சமன்பாட்டில் பிரதியிடுகிறோம்:

\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]

எனவே, தொடரின் முதல் உறுப்பு 4 மற்றும் பொது வித்தியாசம் 4 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 4

கேள்வி: முதல் உறுப்பு \(a = 2\) மற்றும் பொது வித்தியாசம் \(d = 5\) கொண்ட ஒரு கூட்டுத் தொடரின் கூட்டுத்தொகை 200 ஆக இருக்க, எத்தனை உறுப்புகள் தேவைப்படும்?

கலந்துரையாடல்:

இந்த நேர்வில், 200-க்குச் சமமான முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை (\(S_n\)) நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]

\(a\) மற்றும் \(d\) இன் மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:

\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]

இது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு. இதைத் தீர்க்க, நாம் அதன் வடிவத்தை மாற்றுகிறோம்:

\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]

இருபடிச் சூத்திரம் \(ax^2 + bx + c = 0\) -ஐப் பயன்படுத்தவும்:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

இந்த நேர்வில் \(a = 5\), \(b = -1\), மற்றும் \(c = -400\):

\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]

\(\sqrt{8001}\) இன் மதிப்பு 89.42 க்கு அருகில் உள்ளது, எனில்:

\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]

நாம் நேர்மறை மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \approx 9.042 \]

ஆகவே, தேவைப்படும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 9 (வட்டமிட்டால்).

முடிவுரை

கூட்டுத்தொடர்கள் கணிதத்தில் ஒரு முக்கியமான தலைப்பாகும். முதல் உறுப்பு, பொது வித்தியாசம், n-ஆவது உறுப்பு மற்றும் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகியவற்றைப் பற்றிய முழுமையான புரிதல், பலதரப்பட்ட கணக்குகளைத் தீர்ப்பதற்கு மிகவும் மதிப்புமிக்கதாகும். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் விவாதங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், வாசகர்கள் கூட்டுத்தொடர்களின் அடிப்படைக் கருத்துக்களைச் சிறப்பாகப் புரிந்துகொள்வார்கள் என்று நம்பப்படுகிறது.