வடிவியல் தொடர்கள் பற்றிய எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

வடிவியல் தொடர்கள் பற்றிய எடுத்துக்காட்டுக் கேள்விகள்

பெருக்குத் தொடர்கள் என்பது கணிதத்தில் ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும், இது பெரும்பாலும் உயர்நிலைப் பள்ளிகளில் கற்பிக்கப்படுகிறது. இந்தத் தொடர்கள், 'விகிதம்' எனப்படும் ஒரு மாறிலியால் முந்தைய எண்ணைப் பெருக்கக் கிடைக்கும் எண்களின் தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கும். வாசகர்கள் இந்தக் கருத்தை நன்கு புரிந்துகொள்ள உதவும் நோக்கில், இந்தக் கட்டுரை பெருக்குத் தொடர்கள் தொடர்பான பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளையும் விளக்கங்களையும் உள்ளடக்கும்.

வடிவியல் தொடர்களைப் புரிந்துகொள்ளுதல்

பெருக்குத் தொடர் என்பது ஒரு முதல் எண்ணை (a) ஒரு நிலையான விகிதத்தால் (r) பெருக்குவதால் உருவாகும் எண்களின் தொடர் ஆகும். பொதுவாக, ஒரு பெருக்குத் தொடரின் பொது வடிவம்:

\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]

இங்கே:

– “a” என்பது தொடரின் முதல் உறுப்பு.
– “r” என்பது ஒரு உறுப்புக்கும் முந்தைய உறுப்புக்கும் உள்ள விகிதம்.
– “n” என்பது தொடர்வரிசையின் n-ஆவது உறுப்பு ஆகும்.

மாதிரி கேள்விகள் மற்றும் கலந்துரையாடல்

பெருக்குத் தொடர்வரிசைகளைப் பற்றி மேலும் புரிந்துகொள்ள, சில எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 1

கேள்வி:
முதல் உறுப்பு (a) 3 ஆகவும், விகிதம் (r) 2 ஆகவும் உள்ள ஒரு பெருக்குத் தொடர் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. பின்வருவனவற்றைக் காண்க:

1. தொடரின் 5வது உறுப்பு.
2. தொடரின் முதல் 6 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை.

கலந்துரையாடல்:

1. ஒரு பெருக்குத் தொடரின் n-ஆவது உறுப்பிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி 5-ஆவது உறுப்பை (U5) கணக்கிடலாம், அதாவது:

\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]

a = 3, r = 2, மற்றும் n = 5 ஆகியவற்றை சூத்திரத்தில் பிரதியிடுவதன் மூலம்:

\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
[ U_5 = 48 ]

ஆகவே, அந்தத் தொடரின் 5வது உறுப்பு 48 ஆகும்.

2. ஒரு பெருக்குத் தொடரின் முதல் 6 உறுப்புகளின் கூடுதலை (S6), முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம், அதாவது:

\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]

a = 3, r = 2, மற்றும் n = 6 ஆகியவற்றை சூத்திரத்தில் பிரதியிடுவதன் மூலம்:

\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( 63 \right) \]
[ S_6 = 189 ]

ஆகவே, அந்தத் தொடரின் முதல் 6 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 189 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 2

கேள்வி:
ஒரு பெருக்குத் தொடரின் 3வது உறுப்பு 27 மற்றும் 5வது உறுப்பு 243 ஆகும். முதல் உறுப்பின் மதிப்பு (a) மற்றும் விகிதம் (r) ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

கலந்துரையாடல்:

U3 = 27 மற்றும் U5 = 243 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பெருக்குத் தொடரின் n-ஆவது உறுப்பிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி:

\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]

U3-க்கு:

\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]

U5-க்கு:

\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]

சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட்டு a ஐ நீக்குதல்:

\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
[ r = 3 அல்லது r = -3 ]

r இன் மதிப்பை சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிடவும்:

\( r = 3 \):

\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]

\( r = -3 \):

\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]

ஆகவே, முதல் உறுப்பு (a) 3 ஆகும், மற்றும் விகிதம் (r) 3 அல்லது -3 ஆக இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 3

கேள்வி:
முதல் உறுப்பு (a) 8 ஆகவும், விகிதம் (r) 1/2 ஆகவும் இருந்தால், பின்வரும் பெருக்குத் தொடரின் முடிவிலா தொகையைக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

ஒரு பெருக்குத் தொடரின் முடிவிலா கூட்டுத்தொகையை பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]

சூத்திரத்தில் a = 8 மற்றும் r = 1/2 எனப் பிரதியிடும்போது:

\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]

எனவே, பெருக்குத் தொடரின் முடிவிலா கூட்டுத்தொகை 16 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு கேள்வி 4

கேள்வி:
ஒரு பெருக்குத் தொடரின் இரண்டாம் உறுப்பு 12 மற்றும் நான்காம் உறுப்பு 108 ஆகும். அத்தொடரின் விகிதம் மற்றும் முதல் உறுப்பைக் காண்க.

கலந்துரையாடல்:

\( U_2 = 12 \) மற்றும் \( U_4 = 108 \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பெருக்குத் தொடரின் n-ஆவது உறுப்பிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி:

\( U_2 \):

\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]

\( U_4 \):

\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]

சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட்டு a ஐ நீக்குதல்:

\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
[ r = 3 அல்லது r = -3 ]

r இன் மதிப்பை சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிடவும்:

\( r = 3 \):

\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]

\( r = -3 \):

\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]

எனவே, முதல் உறுப்பு (a) 4 அல்லது -4 ஆகவும், விகிதம் (r) 3 அல்லது -3 ஆகவும் இருக்கலாம்.

முடிவுரை

பெருக்குத் தொடர்கள் என்பது பல்வேறு துறைகளில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் ஒரு முக்கியமான கணிதக் கருத்து ஆகும். அதன் அடிப்படைகளைப் புரிந்துகொண்டு, கணக்குகளைத் தீர்க்கும் திறன்களைப் பயிற்சி செய்வதன் மூலம், இந்தக் கருத்தைப் புரிந்துகொள்வதிலும் பயன்படுத்துவதிலும் நாம் மேலும் தேர்ச்சி பெற முடியும் என நம்புகிறோம். வாசகர்கள் பெருக்குத் தொடர்களை இன்னும் ஆழமாகக் கற்றுப் புரிந்துகொள்ள உதவும் வகையில், இந்தக் கட்டுரையில் பல எடுத்துக்காட்டுக் கணக்குகளும் விளக்கங்களும் இடம்பெற்றுள்ளன. இது உங்களுக்குப் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என நம்புகிறோம்!