ஒன்றையொன்று விலக்காத இரண்டு நிகழ்வுகள் A மற்றும் B-யின் கூட்டல் விதி

ஒன்றையொன்று விலக்காத இரண்டு நிகழ்வுகள் A மற்றும் B-யின் கூட்டல் விதி

நிகழ்தகவு கூட்டல் என்பது புள்ளியியல் மற்றும் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் ஒரு முக்கியமான கருவியாகும். இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வெவ்வேறு நிகழ்வுகள் நிகழ்வதற்கான கூட்டு நிகழ்தகவைக் கண்டறிய இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பல சந்தர்ப்பங்களில், இந்த நிகழ்வுகள் ஒன்றையொன்று விலக்குபவையாக இருக்கும், அதாவது அவை ஒரே நேரத்தில் நிகழ முடியாது. இருப்பினும், இரண்டு நிகழ்வுகள் ஒன்றையொன்று விலக்காதவையாக இருந்து, ஒரே நேரத்தில் நிகழக்கூடிய பல சூழ்நிலைகளும் உள்ளன. இந்தக் கட்டுரை, ஒன்றையொன்று விலக்காத இரண்டு நிகழ்வுகளான A மற்றும் B-ஐக் கூட்டுவதற்கான விதியைப் பற்றி விவாதித்து, அவற்றைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் உறுதியான எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்கும்.

அறிமுகம்: அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் கருத்துகள்

பிரத்தியேகமற்ற இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கான கூட்டல் விதியைப் பற்றி நாம் விரிவாகப் பார்ப்பதற்கு முன், சில அடிப்படைக் கருத்துக்களைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம்:

1. நிகழ்தகவு: நிகழ்தகவு என்பது ஒரு நிகழ்வு நடப்பதற்கான சாத்தியக்கூறின் அளவீடு ஆகும், இதன் மதிப்பு 0 முதல் 1 வரை இருக்கும்.
2. நிகழ்வு: ஒரு நிகழ்வு என்பது சமவாய்ப்புச் சோதனையின் முடிவு அல்லது தொடர் முடிவுகள் ஆகும்.
3. ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்வுகள்: இரண்டு நிகழ்வுகள் ஒரே நேரத்தில் நிகழ இயலாத நிலையில், அவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்வுகள் எனப்படும்.

இரண்டு நிகழ்வுகள் ஒன்றையொன்று விலக்காதவையாக இருக்கும்போது, ​​அவை ஒரே நேரத்தில் நிகழ்வதற்கான சாத்தியக்கூறு உள்ளது என்று பொருள். இந்த நிலையில், மொத்த நிகழ்தகவைக் கணக்கிடும்போது, ​​அந்த இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கும் இடையிலான இடைவினையை நாம் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

ஒன்றையொன்று விலக்காத நிகழ்வுகளைக் கூட்டுவதற்கான விதி

பொதுவாக, A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கு, நிகழ்வு A அல்லது B-யின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கான கூட்டல் விதி பின்வருமாறு:

[ P(A √B) = P(A) + P(B) – P(A √B) ]

எங்கே:
– \( P(A \cup B) \) என்பது A அல்லது B ஆகிய நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று நடப்பதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.
– \( P(A) \) என்பது நிகழ்வு A-இன் நிகழ்தகவு ஆகும்.
– \( P(B) \) என்பது நிகழ்வு B-யின் நிகழ்தகவு ஆகும்.
– \( P(A \cap B) \) என்பது A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு நிகழ்வுகளும் ஒரே நேரத்தில் நடப்பதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.

நாம் ஏன் \( P(A \cap B) \) -ஐக் கழிக்க வேண்டும்? ஏனெனில், நாம் \( P(A) \) மற்றும் \( P(B) \) -ஐக் கூட்டும்போது, ​​\( A \cap B \) என்ற நிகழ்வைக் குறிக்கும் பகுதி இரண்டு முறை கணக்கிடப்படுகிறது (ஒருமுறை \( P(A) \) -இலும், மீண்டும் \( P(B) \) -இலும்). எனவே, சரியான முடிவைப் பெறுவதற்காக நாம் அதை ஒருமுறை கழிக்கிறோம்.

உறுதியான உதாரணம்

எளிதாகப் புரிந்துகொள்வதற்கு ஒரு தெளிவான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

நம்மிடம் ஒரு வழக்கமான 52 சீட்டுகள் கொண்ட சீட்டுக்கட்டு இருப்பதாகக் கற்பனை செய்து கொள்வோம். நாம் எடுக்கும் சீட்டு ஸ்பேடாக (நிகழ்வு A) அல்லது ஏஸாக (நிகழ்வு B) இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிட விரும்பினால், மேலே விவரிக்கப்பட்ட கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.

1. ஸ்பேட் சீட்டை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு:

52 சீட்டுகள் கொண்ட ஒரு சீட்டுக்கட்டில் 13 ஸ்பேடு சீட்டுகள் உள்ளன.

[ P(A) = \frac{13}{52} ]

2. ஏஸ் சீட்டை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு:

52 சீட்டுகள் கொண்ட ஒரு சீட்டுக்கட்டில் 4 ஏஸ் சீட்டுகள் உள்ளன.

[ P(B) = \frac{4}{52} ]

3. ஏஸ் மற்றும் ஸ்பேட் ஆகிய இரண்டு அட்டைகளையும் கொண்ட ஒரு சீட்டை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு (ஸ்பேட் ஏஸ்):

52 சீட்டுகள் கொண்ட ஒரு சீட்டுக்கட்டில் ஒரே ஒரு ஏஸ் ஆஃப் ஸ்பேட்ஸ் மட்டுமே இருக்கும்.

[ P(A ≤ B) = 1/52 ]

கூட்டல் விதியைப் பயன்படுத்தி:

[ P(A √B) = P(A) + P(B) – P(A √B) ]

அதை எண்ணுதல்:

\[ P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} – \frac{1}{52} \]
[ P(A \cup B) = \frac{16}{52} ]
[ P(A \cup B) = \frac{4}{13} ]

எனவே, எடுக்கப்பட்ட சீட்டு ஸ்பேட் அல்லது ஏஸ் ஆக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \( \frac{4}{13} \).

பொருத்தம் மற்றும் பயன்பாடு

ஒன்றோடொன்று தொடர்பில்லாத இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கான கூட்டல் விதியைப் புரிந்துகொள்வது, தரவுப் பகுப்பாய்வு, புள்ளியியல் மற்றும் வணிகம், நிதி, கணினி அறிவியல், சமூக ஆராய்ச்சி போன்ற பல்வேறு துறைகளில் பரந்த முக்கியத்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது. சில நடைமுறைப் பயன்பாடுகள் பின்வருமாறு:

1. இடர் பகுப்பாய்வு: இடர் மேலாண்மையில் உள்ள பல்வேறு இடர்கள் மற்றும் காரணிகளின் சாத்தியமான சேர்க்கைகளைக் கண்டறிதல்.
2. நோய்ப்பரவியல் ஆராய்ச்சி: சுகாதார ஆய்வுகளில் பல்வேறு இடர் காரணிகளின் ஒருங்கிணைந்த நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுதல்.
3. வணிகம் மற்றும் நிதி: பங்குச் சந்தை அல்லது வணிகச் சூழலில் உள்ள பல்வேறு நிகழ்வுகளின் ஒருங்கிணைந்த வாய்ப்புகளை மதிப்பிடுதல்.
4. கொள்கை நிர்ணயம்: பல்வேறு கொள்கைகள் மற்றும் நடவடிக்கைகளின் சாத்தியமான தாக்கங்களைக் கருத்தில் கொண்டு, முடிவெடுப்பதற்கு உதவுகிறது.
5. தரவு அறிவியல் மற்றும் இயந்திரக் கற்றல்: ஒன்றுக்கொன்று பிரத்தியேகமாக இல்லாத பல அம்சங்களைக் கருத்தில் கொள்ளும் முன்கணிப்பு மாதிரிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வரைபட விளக்கம்

பெரும்பாலும், இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான தொடர்பைப் புரிந்துகொள்வதற்கு வென் வரைபடங்கள் போன்ற வரைகலை விளக்கங்கள் உதவியாக இருக்கும். இந்த வரைபடங்கள், இரண்டு தொகுப்புகள் (நிகழ்வுகள்) எவ்வாறு தொடர்பு கொள்கின்றன என்பதையும், அவை எங்கு ஒன்றுடன் ஒன்று மேற்பொருந்துகின்றன என்பதையும் காட்டுகின்றன.

நாம் மீண்டும் சீட்டுக்கட்டு உதாரணத்திற்கு வந்தால், வென் வரைபடத்தில் ஒன்றுடன் ஒன்று மேற்பொருந்தும் பகுதியானது ஸ்பேட்ஸ் ஏஸைக் குறிக்கும். இதன் மூலம், \( P(A) \) மற்றும் \( P(B) \) ஆகியவற்றைக் கூட்டும்போது நாம் ஏன் \( P(A \cap B) \) ஐக் கழிக்க வேண்டும் என்பதை இன்னும் தெளிவாகக் காட்சிப்படுத்த முடியும்.

முடிவுரை

ஒன்றையொன்று விலக்காத இரண்டு நிகழ்வுகளுக்கான கூட்டல் விதியைக் கற்றுக்கொள்வது, நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு மற்றும் புள்ளியியலின் ஒரு இன்றியமையாத பகுதியாகும். இந்தக் கருத்தைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், பல்வேறு நிஜ வாழ்க்கைச் சூழ்நிலைகளில் நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்தகவை நம்மால் மிகவும் துல்லியமாகக் கணக்கிட முடியும். நிகழ்வுகள் ஒன்றையொன்று விலக்காதவையாக இருக்கும்போது, ​​ஒன்றுடன் ஒன்று மேற்பொருந்தும் பகுதிகளில் இருமுறை கணக்கிடுவதைத் தவிர்க்க, அவற்றின் கூட்டு நிகழ்தகவுகள் சரிசெய்யப்பட வேண்டும் என்பதை எப்போதும் நினைவில் கொள்ளுங்கள். இந்த அணுகுமுறை புள்ளியியல் பகுப்பாய்வுக்கு உதவுவதோடு மட்டுமல்லாமல், தரவுகளின் அடிப்படையிலான முடிவெடுக்கும் திறனையும் வலுப்படுத்துகிறது.

இந்தக் கட்டுரை, இந்தக் கருத்தை நாம் பல்வேறு சூழல்களில் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம் என்பதைக் காட்டுவதோடு, நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளியியல் சம்பந்தப்பட்ட எந்தவொரு துறையிலும் இதன் மேலதிகப் பயன்பாடுகளுக்கு ஒரு உறுதியான அடித்தளத்தையும் வழங்குகிறது.