Mlinganyo wa Poiseuille

Makala kuhusu mlinganyo wa Poiseuilles

Mlinganyo wa Poiseuille uligunduliwa na Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Kama ilivyoelezwa, kila umajimaji unaweza kuchukuliwa kama umajimaji bora. Umajimaji bora hauna mnato. Tukidhani umajimaji bora unapita kwenye bomba, kila sehemu ya umajimaji husogea kwa kasi sawa (v). Tofauti na umajimaji bora, umajimaji halisi tunaokutana nao katika maisha ya kila siku una mnato. Kwa sababu una mnato, basi unapotiririka kwenye bomba, kwa mfano, kasi ya kila sehemu ya umajimaji hutofautiana. Safu ya umajimaji iliyo katikati husogea kwa kasi zaidi (kina v), kinyume chake, safu ya umajimaji iliyounganishwa na bomba haisogei (v = 0). Kwa hivyo kutoka katikati hadi ukingoni mwa bomba, kila sehemu ya umajimaji husogea kwa kasi tofauti. Ili kurahisisha uelewa wako, angalia picha iliyo hapa chini.

R = kipenyo cha bomba/mrija

v ₁ = kiwango cha mtiririko wa maji katika mhimili wa kati/mrija

v ₂ = kiwango cha mtiririko wa maji ambacho ni r ₂ kutoka ukingo wa bomba

v ₃ = kiwango cha mtiririko wa maji r ₃ kutoka ukingo wa bomba

v ₄ = kiwango cha mtiririko wa maji r ₄ kutoka ukingo wa bomba

r = umbali

Ili kiwango cha mtiririko wa kila sehemu ya umajimaji kiwe sawa, kuna haja ya kuwa na tofauti ya shinikizo katika ncha zote mbili za bomba au mrija wowote ambao umajimaji hupitia. Kinachomaanishwa na umajimaji hapa ni umajimaji halisi, kwa mfano, maji au mafuta yanayotiririka kupitia bomba, damu inayotiririka kwenye mshipa wa damu, n.k. Mbali na kusaidia umajimaji halisi kutiririka vizuri, tofauti ya shinikizo inaweza pia kufanya umajimaji kutiririka katika mabomba ya urefu tofauti.

Jean Louis Marie Poiseuille, mwanasayansi wa zamani wa Ufaransa ambaye alikuwa na nia ya vipengele vya kimwili vya mzunguko wa damu ya binadamu, alifanya utafiti ili kuchunguza jinsi vipengele, kama vile tofauti za shinikizo, eneo la mtambuka wa mirija, na ukubwa wa mirija vinavyoathiri kiwango halisi cha umajimaji. Matokeo yaliyopatikana na Jean Louis Marie Poiseuille, anayejulikana kama mlinganyo wa Poiseuille.

Mlinganyo wa Poiseuille unaweza kupatikana kwa kutumia mlinganyo wa mgawo wa mnato ambao umehesabiwa hapo awali. Tunatumia mlinganyo wa mnato kwa sababu kesi hizo zinafanana, ingawa si sawa. Tunapopata mlinganyo wa mgawo wa mnato, tunapitia mtiririko wa safu halisi ya umajimaji kati ya sahani 2 sambamba, na umajimaji unaweza kusogea kwa sababu ya mvuto (F). Tofauti ni kwamba mlinganyo wa Poiseuille ambao tutapata hutaja mambo yanayoathiri mtiririko wa umajimaji halisi kwenye bomba/mrija na umajimaji unaotiririka kutokana na tofauti ya shinikizo. Kwa hivyo, mlinganyo wa mgawo wa mnato unahitaji kurekebishwa tena.

Maji yanaweza kutiririka kutokana na tofauti ya shinikizo (maji hutiririka kutoka mahali penye shinikizo kubwa hadi mahali ambapo shinikizo ni la chini), kisha tunabadilisha F na uk ₁ – uk ₂ (uk ₁ > uk ₂ ).

Tunapopata mlinganyo wa mgawo wa mnato, tunapitia mtiririko wa safu halisi ya umajimaji kati ya sahani 2 sambamba. Kila sehemu ya umajimaji hubadilisha kasi yake ya kawaida hadi l. Katika hali hii, kiwango cha mtiririko wa umajimaji hubadilika mara kwa mara kutoka mhimili wa bomba hadi ukingo wa bomba. Umajimaji kwenye mhimili wa bomba hutiririka kwa kasi kubwa zaidi (v). Kadiri ukingo unavyozidi kuwa mkubwa, ndivyo kasi ya umajimaji inavyopungua. Radius ya bomba = umbali kati ya mhimili wa bomba na ukingo wa bomba = R. Umbali kati ya kila sehemu ya umajimaji na ukingo wa bomba = r. Kwa sababu kiasi cha kila sehemu ya umajimaji ni kikubwa na umbali kutoka ukingo wa bomba pia ni tofauti, basi tunaandika hivi:

v ₁ = kasi ya umajimaji iliyo umbali wa r ₁ kutoka ukingoni mwa bomba (r ₁ = R)

v ₂ = kasi ya umajimaji iliyo umbali wa r ₂ kutoka ukingo wa bomba (r ₂ < r ₁ )

v ₃ = kasi ya umajimaji kwa umbali r ₃ kutoka ukingo wa bomba (r ₃ < r ₂ < r ₁ )

v ₄ = kasi ya umajimaji iliyo umbali wa r ₄ kutoka ukingoni mwa bomba (r ₄ < r ₃ < r ₂ < r ₁ )

……………………………………… ..

v _n = kiwango cha umajimaji katika umbali rn kutoka ukingo wa bomba (rn <…… <r ₄ <r ₃ <r ₂ <r ₁ )

Kiasi cha kila sehemu ya umajimaji ni kikubwa, na pia hatujui hasa ni kiasi gani cha kiasi hicho ni kweli, kwa hivyo inatosha kuandikwa kwa alama n. Kila sehemu ya umajimaji hubadilisha kasi (v) mara kwa mara, kutoka mhimili wa mirija (r ₁ = R) hadi ukingo wa mirija (rn). Kutoka mhimili wa mirija (r ₁ = R) hadi ukingo wa mirija (rn), kiwango cha kila sehemu ya umajimaji ni kidogo (v ₁ > v ₂ > v ₃ > v ₄ > ….> v _n ).

Kutokana na maelezo hapo juu, tunaweza kuwa na takwimu kwamba kuanzia R hadi rn, kiwango cha umajimaji kinapungua. Urefu wa bomba = L. Mlinganyo uliopatikana:

Kwa sababu tunachopitia ni kasi ya mtiririko wa umajimaji, basi mlinganyo wa 2 unakuwa:

Huu ni mlinganyo wa kasi ya mtiririko wa maji katika umbali wa r kutoka kwenye bomba lenye kipenyo cha R. Ikiwa umechanganyikiwa unapoangalia picha hapo juu… Tafadhali kumbuka kuwa maji hutiririka kwenye bomba, kwa hivyo tunahitaji kupitia kiwango cha mtiririko wa ujazo wa maji.

Ndani ya mrija, kuna umajimaji. Kwa mfano, tunagawanya umajimaji katika sehemu ndogo, ambapo kila sehemu ina eneo la kitengo cha dA, lililotengwa kutoka kwa mhimili wa mrija na lina kasi ya mtiririko v. Kihisabati inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

dA ₁ = sehemu ya majimaji 1, ambayo ni umbali wa dr ₁ kutoka mhimili wa mirija

dA ₂ = sehemu ya majimaji 2, ambayo ni umbali wa dr ₂ kutoka mhimili wa mirija

dA ₃ = sehemu ya umajimaji 3, ambayo ni umbali wa dr ₃ kutoka mhimili wa mirija

…………………………….

dAn = sehemu ya umajimaji n, ambayo ni umbali wa dn kutoka mhimili wa mirija

Sehemu ya umajimaji ni mingi sana, kwa hivyo imeandikwa tu kwa alama n, kwa hivyo ni ya vitendo zaidi. Kiwango cha mtiririko wa ujazo wa kila sehemu ya umajimaji kinaweza kuandikwa kihisabati kama ifuatavyo:

Kila sehemu ya umajimaji iko katika umbali wa r = 0 hadi r = R (R = radius ya mirija). Kwa maneno mengine, umbali wa kila sehemu ya umajimaji hutofautiana unapopimwa kutoka kwa mhimili wa mirija. Tutapata mlinganyo wa kiwango cha mtiririko wa ujazo wa umajimaji kwenye mirija:

Q = Utoaji, R = radius ya bomba au mirija, η = mgawo wa mnato, P ₁ – p ₂ = Tofauti ya shinikizo kati ya ncha mbili za bomba, L = urefu wa bomba, p ₁ -p ₂ / L = Mteremko wa shinikizo (mtiririko wa maji huwa katika mwelekeo wa kushuka kwa shinikizo)

Kulingana na mlinganyo wa Poiseuille hapo juu, inaonekana kwamba kiwango cha mtiririko wa ujazo wa umajimaji (Q) ni sawia na radius ya mirija (R ⁴ ), gradient ya shinikizo (p ₂ - p ₁ / L) na sawia kinyume na mnato. Ikiwa radius ya mirija imeongezwa (mgawo wa mnato na gradient ya shinikizo isiyobadilika), basi kasi ya mtiririko wa umajimaji huongezeka kwa kipengele cha 16.

Katika dhana ya msingi ya muundo wa bomba, tumia mlinganyo huu. Utoaji wa majimaji ni sawia na R ⁴ (R = radius ya bomba). Radius ya vidole vya sindano au bomba inahitaji kuhesabiwa kwa uangalifu. Kwa mfano, tukiongeza mara mbili radius ya sindano (rx 2), utokaji wa kioevu unaonyunyiziwa = huongeza nguvu ya kubana kidole gumba mara 16.

Mlinganyo wa Poiseuille pia unaonyesha kwamba radius (r ⁴ ) ina uwiano kinyume na tofauti ya shinikizo kati ya ncha mbili za bomba. Kwa mfano, damu hutiririka kwanza kwenye mshipa wa damu ambao una radius ya ndani ya r. Ikiwa kuna mgandamizo wa mishipa (km, r/2 = radius ya mishipa ya damu hupunguzwa mara mbili),

kisha tofauti ya shinikizo la mara 16 inahitajika ili kufanya mtiririko wa damu uendelee kama ilivyokuwa hapo awali (ili kasi ya mtiririko iwe thabiti).