Kanuni ya Bernoullis na mlinganyo wa Bernoullis

Makala kuhusu kanuni ya Bernoullis na mlinganyo wa Bernoullis

Tunapoendesha pikipiki, nguo tunazovaa huvimba mgongoni. Wakati mwingine, upepo ukivuma kwa nguvu, mlango unaweza kujifunga. Ingawa upepo unavuma nje ya nyumba, huku mlango ukiwa ndani ya nyumba.

Hili linaweza kuelezewa kwa kutumia kanuni ya Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700-1782) aligundua kanuni ambayo ingeweza kutumika kuelezea jambo lililo hapo juu.

Kanuni ya Bernoulli

Kanuni ya Bernoulli inasema kwamba pale ambapo kasi ya mtiririko wa maji ni kubwa, shinikizo la maji ni la chini. Kinyume chake, ikiwa kasi ya mtiririko wa maji ni ya chini, shinikizo la maji ni la juu. Pikipiki inaposogea haraka, kasi ya hewa mbele na upande wa mwili wako ni ya juu. Hivyo, shinikizo la hewa linakuwa chini. Sehemu ya nyuma ya mwili wako imezuiwa na sehemu ya mbele ya mwili wako, kwa hivyo kasi ya hewa nyuma ya mwili wako haigeuki juu. Matokeo yake, shinikizo la hewa nyuma ya mwili wako linakuwa juu. Kwa sababu kuna tofauti katika shinikizo la hewa, ambapo nyuma ya mwili shinikizo la hewa ni kubwa kuliko hewa husukuma shati lako nyuma ili nguo zako zionekane zimevimba nyuma.

Vipi kuhusu mlango wa nyumba unaojifunga wenyewe wakati upepo unavuma nje ya nyumba? Hewa iliyo nje ya nyumba husogea kwa kasi zaidi kuliko hewa iliyo ndani ya nyumba. Kwa sababu hiyo, shinikizo la hewa iliyo nje ya nyumba ni dogo kuliko shinikizo la hewa iliyo ndani ya nyumba. Kwa sababu kuna tofauti ya shinikizo, ambapo shinikizo la hewa ndani ya nyumba ni kubwa, mlango husukumwa nje. Kwa maneno mengine, jani la mlango husogea kutoka mahali ambapo shinikizo la hewa ni kubwa kuelekea mahali ambapo shinikizo la hewa ni dogo.

Mlinganyo wa Bernoulli

Hapo awali, tumejifunza kuhusu kanuni ya Bernoulli. Bernoulli pia aliendeleza kanuni hiyo kwa kiasi. Ili kupata mlinganyo wa Bernoulli, tunadhania kwamba mtiririko wa umajimaji ni thabiti na wa laminar, haujabanwa, mnato ni mdogo sana ili uweze kupuuzwa.

Katika mjadala wa mlinganyo wa mwendelezo, tumejifunza kwamba kiwango cha mtiririko wa umajimaji kinaweza pia kutofautiana kulingana na eneo la mtiririko wa bomba la mtiririko. Kulingana na kanuni ya Bernoulli iliyoelezwa hapo juu, shinikizo la umajimaji linaweza pia kutofautiana kulingana na kiwango cha mtiririko wa umajimaji. Shinikizo la umajimaji linaweza pia kutofautiana kulingana na urefu wa umajimaji. Uhusiano kati ya shinikizo, kiwango cha mtiririko, na urefu wa mtiririko unaweza kupatikana katika mlinganyo wa Bernoulli.

Mlinganyo wa Bernoulli ni muhimu kwa sababu unaweza kutumika kuchambua safari za ndege, mitambo ya umeme wa maji, mifumo ya mabomba, n.k. Ili mlinganyo wa Bernoulli utolewe kwa ujumla, tunadhania kwamba umajimaji hutiririka kupitia bomba la mtiririko lenye eneo la sehemu mtambuka ambalo si sawa na urefu pia ni tofauti. Ili kupata mlinganyo wa Bernoulli, tunatumia nadharia ya kazi na nishati kwenye umajimaji kwenye bomba la mtiririko.

Rangi isiyoonekana wazi kwenye bomba la mtiririko katika mchoro ulio hapa chini inaonyesha mtiririko wa umajimaji, huku rangi nyeupe ikionyesha kutokuwepo kwa umajimaji.

Majimaji katika eneo la sehemu mtambuka 1 (upande wa kushoto) hutiririka hadi L ₁ na kulazimisha majimaji katika sehemu ya 2 (upande wa kulia) kusogea hadi L _2. Kwa sababu eneo la sehemu mtambuka 2 upande wa kulia ni dogo, kasi ya mtiririko wa majimaji upande wa kulia wa bomba la mtiririko ni kubwa zaidi (Kumbuka mlinganyo wa mwendelezo). Hii husababisha tofauti ya shinikizo kati ya sehemu ya 2 (upande wa kulia wa bomba la mtiririko) na sehemu ya 1 (upande wa kushoto wa bomba la mtiririko) - Kumbuka kanuni ya Bernoulli. Majimaji yaliyo upande wa kushoto wa sehemu ya 1 hutoa shinikizo (P ₁ ) kwenye majimaji yaliyo upande wa kulia na hufanya kazi:

Kisha _mlinganyo wa W1 unaweza kuandikwa:

W ₁ = uk ₁ A ₁ L ₁

Katika sehemu ya 2 (upande wa kulia wa bomba la mtiririko), kazi inayofanywa kwenye umajimaji ni:

W ₂ = − uk ₂ A ₂ L ₂

Ishara hasi inaonyesha kwamba nguvu inayotumika iko kinyume na mwelekeo wa mwendo. Kwa hivyo, umajimaji hufanya kazi upande wa kulia wa sehemu mtambuka ya 2. Zaidi ya hayo, nguvu ya uvutano hufanya kazi kwenye umajimaji. Katika hali hapo juu, baadhi ya umajimaji huhamishwa kutoka sehemu ya 1 hadi sehemu ya 1 hadi _sehemu ya 2 hadi sehemu ya 2 _, ambapo ujazo wa umajimaji katika sehemu ya 1 ni (A ₁ L ₁ ) = ujazo wa umajimaji katika sehemu ya 2 (A ₂ L ₂ ). Kazi inayofanywa na uvutano ni:

W ₃ = − mg (h ₂ − saa ₁ )

W ₃ = − mgh ₂ + mgh ₁ )

W ₃ = mg ₁ − mg ₂

Ishara hasi husababishwa na umajimaji unaotiririka juu, tofauti na mwelekeo wa uvutano. Hivyo, kazi halisi inayofanywa kwenye umajimaji ni:

W = W ₁ + W ₂ + W ₃

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Nadharia ya nishati ya kazi inasema kwamba kazi halisi inayofanywa kwenye mfumo ni sawa na mabadiliko katika nishati ya kinetiki. Hivyo, tunaweza kubadilisha kazi (W) na mabadiliko katika nishati ya kinetiki (EK ₂ - EK ₁ ).

Mlinganyo hapo juu unaweza kuandikwa tena:

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ ‐ EK₁ = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1⁄2 mv₂² – 1⁄2 mv₁² = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Uzito wa umajimaji unaotiririka hadi L₁ katika sehemu mtambuka A₁ = wingi wa umajimaji unaotiririka hadi L₂ (sehemu mtambuka A₂Uzito wa umajimaji, tuseme m, una ujazo wa A₁ L₁ na A₂ L₂ ambapo A₁ L₁ =A₂ L₂ (L₂ ni ndefu kuliko L₁).

Sasa tunabadilisha m katika mlinganyo hapo juu na m = ρ AL:

Huu ni mlinganyo wa Bernoulli. Mlinganyo wa Bernoulli unatokana na kanuni ya nishati-kazi ili iwe aina ya uhifadhi wa nishati.

P = shinikizo, ρ = msongamano, v = kasi ya umajimaji, g = kasi ya uvutano, h = urefu wa bomba juu ya ardhi.

Sehemu za kushoto na kulia za mlinganyo wa Bernoulli hapo juu zinaweza kurejelea nukta mbili popote kwenye bomba la mtiririko ili tuweze kuandika upya mlinganyo ulio hapo juu katika:

Sasa hebu tupitie mlinganyo wa Bernoulli kwa baadhi ya visa.

Mlinganyo wa Bernoulli katika maji tuli

Mfano maalum wa mlinganyo wa Bernoulli ni wa umajimaji tuli, ambapo umajimaji hauna kasi. Hivyo, v ₁ = v ₂ = 0. Katika hali ya umajimaji tuli, tunaweza kuunda mlinganyo wa Bernoulli kuwa:

Ikiwa h ₂ - h ₁ = h, mlinganyo huu unaweza kuandikwa kama:

uk ₁ − uk ₂ = ρ g (h ₂ − saa ₁ )

uk ₁ − uk ₂ = ρ gh

Mlinganyo wa Bernoulli kwenye bomba la urefu sawa

Ikiwa urefu wa bomba ni sawa, mlinganyo wa Bernoulli hubadilishwa kuwa: