Mlinganyo wa Poiseuille

Inaitwa mlinganyo wa Poiseuille kwa sababu iligunduliwa na marehemu Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Kama ilivyoelezwa, kila umajimaji unaweza kuchukuliwa kuwa umajimaji bora. Umajimaji bora hauna mnato. Tukifikiria umajimaji bora unaotiririka kwenye bomba, kila sehemu ya umajimaji husogea kwa kasi ile ile (v). Tofauti na umajimaji bora, umajimaji halisi, au umajimaji tunaokutana nao katika maisha ya kila siku, una mnato. Kwa sababu una mnato, unapotiririka kwenye bomba, kwa mfano, kasi ya kila sehemu ya umajimaji hutofautiana. Safu ya umajimaji katikati husogea haraka zaidi (v ni kubwa), huku safu ya umajimaji iliyounganishwa na bomba haisogei, pia inajulikana kama bado (v = 0). Kwa hivyo, kutoka katikati hadi ukingoni mwa bomba, kila sehemu ya umajimaji husogea kwa kasi tofauti. Ili kurahisisha kuelewa, tazama picha iliyo hapa chini…

Taarifa:

R = radius ya bomba/mrija

v₁ = kiwango cha mtiririko wa maji katikati/mhimili wa bomba

v₂ = kiwango cha mtiririko wa maji kwa umbali r₂ kutoka ukingoni mwa bomba

v₃ = kiwango cha mtiririko wa maji kwa umbali r₃ kutoka ukingoni mwa bomba

v₄ = kiwango cha mtiririko wa maji kwa umbali r₄ kutoka ukingoni mwa bomba

r = umbali

Ili kuhakikisha kiwango cha mtiririko wa kila umajimaji ni sawa, lazima kuwe na tofauti ya shinikizo katika ncha zote mbili za bomba au mrija wowote ambapo umajimaji hupitia. Kwa umajimaji hapa, tunamaanisha umajimaji halisi, kama vile maji au mafuta yanayotiririka kupitia bomba, damu inayotiririka kupitia mishipa ya damu, n.k. Mbali na kusaidia umajimaji halisi kutiririka vizuri, tofauti za shinikizo pia zinaweza kuruhusu umajimaji kutiririka kwenye mabomba kwa urefu tofauti.

Jean Louis Marie Poiseuille, mwanasayansi wa zamani wa Ufaransa anayevutiwa na vipengele vya kimwili vya mzunguko wa damu ya binadamu, alifanya utafiti ili kuchunguza jinsi vipengele kama vile tofauti za shinikizo, eneo la sehemu ya mtambuka ya mrija, na ukubwa wa mrija unavyoathiri kasi ya umajimaji halisi. Matokeo yaliyopatikana na Jean Louis Marie Poiseuille yanajulikana kama mlinganyo wa Poiseuille.

Mlinganyo wa Poiseuille unaweza kupatikana kwa kutumia mlinganyo wa mgawo wa mnato uliotolewa hapo awali. Tunatumia mlinganyo wa mnato kwa sababu kesi hiyo inafanana, ingawa si sawa. Tunapopata mlinganyo wa mgawo wa mnato, tunazingatia mtiririko wa safu halisi ya umajimaji kati ya sahani mbili sambamba, na umajimaji unaweza kusogea kutokana na nguvu ya mvutano (F). Tofauti ni kwamba mlinganyo wa Poiseuille tutakaopata kwa kweli husema mambo yanayoathiri mtiririko wa umajimaji halisi kwenye bomba/mrija, na umajimaji hutiririka kutokana na tofauti za shinikizo. Kwa hivyo, mlinganyo wa mgawo wa mnato unahitaji kurekebishwa tena.

Majimaji yanaweza kutiririka kutokana na tofauti katika shinikizo (majimaji hutiririka kutoka sehemu zenye shinikizo kubwa hadi sehemu zenye shinikizo la chini), kwa hivyo tunabadilisha F na p₁ - p₂ (p₁ > p₂).

Tunapopata mlinganyo wa mgawo wa mnato, tunazingatia mtiririko wa safu halisi ya umajimaji kati ya sahani mbili sambamba. Kila sehemu ya umajimaji hupata mabadiliko ya kawaida ya kasi kwa umbali wa l. Katika hali hii, kiwango cha mtiririko wa umajimaji hubadilika mara kwa mara kutoka mhimili wa bomba hadi ukingo wa bomba. Umajimaji kwenye mhimili wa bomba hutiririka kwa kasi kubwa zaidi (v). Kadiri unavyoelekea ukingoni, kasi ya umajimaji hupungua. Radius ya bomba = umbali kati ya mhimili wa bomba na ukingo wa bomba = R. Umbali kati ya kila sehemu ya umajimaji na ukingo wa bomba = r. Kwa kuwa idadi ya kila sehemu ya umajimaji ni kubwa sana na umbali wao kutoka ukingo wa bomba pia hutofautiana, tunaandika tu hivi:

v₁ = kasi ya umajimaji kwa umbali r1 kutoka ukingo wa bomba (r1 = R)

v₂ = kasi ya umajimaji kwa umbali wa r2 kutoka ukingo wa bomba (r2 < r1)

v₃ = kasi ya umajimaji kwa umbali wa r3 kutoka ukingo wa bomba (r3 < r2 < r1)

v₄ = kasi ya umajimaji kwa umbali r4 kutoka ukingo wa bomba (r4 < r3 < r2 < r1)

……………………………………… ..

vn = kasi ya umajimaji kwa umbali rn kutoka ukingo wa bomba (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )

Idadi ya kila sehemu ya umajimaji ni kubwa sana na pia hatujui ni kiasi gani hasa, kwa hivyo inatosha kuiandika kwa alama n. Kila sehemu ya umajimaji hupata mabadiliko ya kiwango (v) mara kwa mara, kutoka mhimili wa bomba (r1 = R) hadi ukingo wa bomba (rn). Kutoka mhimili wa bomba (r1 = R) hadi ukingo wa bomba (rn), kiwango cha kila sehemu ya umajimaji kinapungua (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).

Kutokana na maelezo hapo juu, tunaweza kupata wazo kwamba kutoka R hadi rn, kiwango cha umajimaji hupungua. Urefu wa bomba = L. Mlinganyo uliopatikana ni:

Kwa sababu tunachofikiria ni kiwango (v) cha mtiririko wa umajimaji, mlinganyo wa 2 unakuwa:

Huu ndio mlinganyo wa kiwango cha mtiririko wa umajimaji kwa umbali wa r kutoka kwa bomba lenye kipenyo cha R. Ukichanganyikiwa unapoangalia picha hapo juu.... Tafadhali kumbuka kuwa umajimaji hutiririka kwenye bomba au mrija, kwa hivyo tunahitaji kupitia kiwango cha mtiririko wa ujazo wa umajimaji.

Ndani ya mrija kuna umajimaji. Kwa mfano, tunagawanya umajimaji katika vipande vidogo sana, ambapo kila kipande kina eneo la kitengo dA, kiko mbali na mhimili wa mrija na kina kiwango cha mtiririko v. Kihisabati, hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

dA1 = sehemu ya umajimaji 1, ambayo ni umbali wa 1 kutoka mhimili wa mirija

dA2 = sehemu ya umajimaji 2, ambayo ni umbali wa 2 kutoka mhimili wa mirija

dA3 = sehemu ya umajimaji 3, ambayo ni umbali wa 3 kutoka mhimili wa mirija

…………………………….

dA n = sehemu ya umajimaji n, ambayo ni umbali dA n kutoka mhimili wa mirija

Kuna vipande vingi vya umajimaji kiasi kwamba ni rahisi kuviandika kwa alama n. Kiwango cha mtiririko wa ujazo wa kila kipande cha umajimaji kinaweza kuandikwa kihisabati kama ifuatavyo:

Kila kipande cha umajimaji kiko katika umbali wa r = 0 hadi r = R (R = radius ya bomba). Kwa maneno mengine, umbali wa kila kipande cha umajimaji hutofautiana unapopimwa kutoka kwenye mhimili wa bomba. Tukibadilishana na hesabu (ujumuishaji), tutapata mlinganyo wa kiwango cha mtiririko wa ujazo wa umajimaji kwenye bomba:

Taarifa:

Q = Debit

R = Kipenyo cha ndani cha bomba au mirija

η = mgawo wa mnato

P₁ - p₂ = Tofauti ya shinikizo kati ya ncha mbili za bomba

L = Urefu wa bomba

p₁-p₂/L = Mteremko wa shinikizo (mtiririko wa maji huwa unaelekea upande wa shinikizo linalopungua)

Kulingana na mlinganyo wa Poiseuille hapo juu, inaonekana kwamba kiwango cha mtiririko wa ujazo wa umajimaji, unaojulikana pia kama kutokwa (Q), ni sawia na nguvu ya nne ya radius ya bomba (R).₄), mteremko wa shinikizo (p₂ - p₁ /L) na ina uwiano kinyume na mnato. Ikiwa radius ya bomba imeongezeka (mgawo wa mnato na gradient ya shinikizo hubaki sawa), basi kiwango cha mtiririko wa umajimaji huongezeka kwa kipengele cha 16.

Dhana ya msingi ya kubuni mabomba, sindano, n.k. hutumia mlinganyo huu. Utoaji wa majimaji ni sawia na R₄ (R = radius ya bomba). Radius ya sindano au radius ya bomba inahitaji kuhesabiwa kwa uangalifu. Kwa mfano, tukiongeza radius ya sindano mara mbili (r x 2), basi kutokwa kwa kioevu kinachonyunyizia = huongeza nguvu ya shinikizo la kidole gumba kwa mara 16.

Mlinganyo wa Poiseuille pia unaonyesha kwamba nguvu ya nne ya radius (r⁴), ina uwiano kinyume na tofauti ya shinikizo kati ya ncha mbili za bomba. Kwa mfano, mwanzoni damu hutiririka katika mshipa wa damu wenye kipenyo cha ndani cha r. Ikiwa kuna mshipa mwembamba wa damu (kwa mfano, r/2 = kipenyo cha ndani cha mshipa wa damu hupunguzwa kwa mara 2), basi tofauti ya shinikizo ya mara 16 inahitajika ili kufanya mtiririko wa damu kama hapo awali (ili kiwango cha mtiririko wa damu au kiasi cha damu kibaki sawa).