Mfano wa Swali la Majadiliano kuhusu Mlinganyo wa Mduara
Mlinganyo wa duara ni mada muhimu katika jiometri ya uchambuzi. Uelewa mzuri wa mlinganyo wa duara ni muhimu sana, si tu katika hisabati bali pia katika matumizi mbalimbali ya uhandisi na kisayansi. Katika makala haya, tutajadili mifano kadhaa ya milinganyo ya duara na suluhisho zake. Lengo ni kutoa muhtasari wazi na wa kina wa jinsi ya kutatua matatizo yanayohusisha milinganyo ya duara.
Mlinganyo Mkuu wa Mduara
Mlinganyo wa kawaida wa duara katika viwianishi vya Cartesian ni:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Wapi:
– \( (a, b) \) ni viwianishi vya katikati ya duara.
– \(r \) ni kipenyo cha duara.
Ikiwa katikati ya duara iko kwenye ncha \((0, 0) \), mlinganyo wa duara utakuwa:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Sasa, hebu tujadili mifano ya matatizo na suluhisho zake.
Mfano Swali la 1
Swali: Tambua mlinganyo wa duara ambalo kitovu chake kiko katika nukta (3, -2) na kina kipenyo cha 5.
Suluhisho:
Tumia fomula ya jumla ya mlinganyo wa duara:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Badilisha thamani \( a = 3 \), \( b = -2 \), na \( r = 5 \):
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Kwa hivyo, mlinganyo wa duara ni:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Mfano Swali la 2
Swali: Tambua mlinganyo wa duara ambalo kitovu chake kiko kwenye asili (0, 0) na kina kipenyo cha 7.
Suluhisho:
Kwa kuwa katikati ya duara iko kwenye asili, tunaweza kutumia mlinganyo rahisi:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Badilisha thamani \(r = 7 \):
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Kwa hivyo, mlinganyo wa duara ni:
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Mfano Swali la 3
Swali: Tambua mlinganyo wa duara ambalo kitovu chake kiko katika nukta (4, -5) na kinagusa mhimili wa Y.
Suluhisho:
Mzunguko unaozunguka mhimili wa Y unamaanisha umbali kutoka katikati ya duara hadi mhimili wa Y ni sawa na radius yake. Umbali huu ni thamani kamili ya mratibu wa X wa katikati ya duara. Kwa hivyo, radius ni 4.
Tumia fomula ya jumla ya mlinganyo wa duara:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Badilisha thamani \( a = 4 \), \( b = -5 \), na \( r = 4 \):
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Kwa hivyo, mlinganyo wa duara ni:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Mfano Swali la 4
Swali: Duara lina mlinganyo \( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Tambua katikati na kipenyo cha duara.
Suluhisho:
Ili kutatua mlinganyo huu, tunahitaji kuubadilisha kuwa umbo la kawaida \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Hatua za kuukamilisha ni kama ifuatavyo:
1. Kuweka na kutatua miraba kamili katika makundi:
Mlinganyo wa awali ni:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Kundi \( x \) na \( y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Tatua mraba kamili:
Kwa \( x^2 – 6x \):
\[ x^2 – 6x + 9 \]
Kwa \( y^2 + 4y \):
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Ongeza 9 na 4 pande zote mbili za mlinganyo:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Kwa hivyo, mlinganyo wa duara katika umbo la kawaida ni:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Kuanzia hapa, tunaweza kuona kwamba katikati ya duara ni \( (3, -2) \) na kipenyo ni \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Mfano Swali la 5
Swali: Tambua mlinganyo wa duara linalopita kwenye nukta (2, 3) na (4, 5), na ambalo kitovu chake kiko kwenye mstari x = 3.
Suluhisho:
Kutokana na swali, tunajua katikati ya duara ni (3, b). Duara pia hupitia nukta mbili zinazojulikana. Kwa kuwa duara hupitia (2, 3), umbali kutoka katikati hadi nukta hii ni radius.
Mlinganyo wa duara ni:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Sehemu ya kubadilisha (2, 3):
\[ (2 - 3)^2 + (3 - b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Sehemu ya kubadilisha (4, 5):
\[ (4 - 3)^2 + (5 - b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Kutoka kwa milinganyo miwili, tunajua (3 - b)^2 = (5 - b)^2. Kwa hivyo:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
Ikiwa \( 3 - b = 5 - b \), matokeo hayawezi kuwa kweli. Kwa hivyo:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[b = 4 \]
Kwa b = 4, mlinganyo wa duara ni:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Hata hivyo, tunaweza kukokotoa radius r kutoka umbali kati ya katikati na nukta (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Mlinganyo wa duara ni:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Hitimisho
Kuelewa mlinganyo wa duara kunaweza kurahisisha utatuzi wa matatizo mengi ya hisabati. Katika kila kisa, kutambua kitovu na kipenyo ni muhimu. Tunatumaini, mifano hii ya matatizo na maelezo yake hutoa ufafanuzi na kukusaidia kujifunza mlinganyo wa duara. Kufanya mazoezi huleta matokeo bora katika hesabu, kwa hivyo usisite kujaribu matatizo mbalimbali ili kuboresha ujuzi wako.
