Hookes lag och elasticitet – problem och lösningar

Hookes lag och elasticitet – problem och lösningar

Förändringen i längd

1. En stång har längden L och dras av kraften F. Förlängningen är ∆L. Vad är kraftens storlek om längdförändringen är 4∆L?

Känd:

Kraft 1 (F1 ₎ = F

Längdförändringen 1 (∆L1 ₎ = ∆L

Längdförändringen 2 (∆L2 ₎ = 4 ∆L

Efterlyst: Force 2 (F ₂ )

lösning:

Ekvationen för Hookes lag

k = F / ΔL

k = elasticitetskonstant, F = kraften hos F, ΔL = längdförändringen

k1 = _k2​

F1 / _∆L1 = _F2 / _∆L2​

F / ΔL = F2 _/ 4ΔL

F/1 = F2 _/ 4

F = F² _/ 4

F2 = _4F

2. Fjädrarna är seriekopplade och parallellt kopplade, som visas i figuren nedan. Fjäder 1 har konstanten 200 N/m, fjäder 2 har konstanten 200 N/m och fjäder 3 har konstanten 200 N/m. Föremålets massa är 100 gram och acceleration på grund av gravitationen är 10 m/s²Vad är förändringen i längd på d motsvarande vår.

Känd:

Objektets massa (m) = 100 gram = 0.1 kg

k1 = k2 ₌ k3 _{= 200} N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² ⁼ 1 Newton

Önskad: Längdförändringen på den ekvivalenta fjädern.

lösning:

Bestäm ekvivalenten fjäderkonstant:

Fjäder 2 (k² ₎ och fjäder 3 (k³ ₎ är parallellkopplade. Den ekvivalenta fjäderkonstanten:

k _p = k ₂ + k ₃ = 200 + 200 = 400 Nm ⁻¹

Fjäder 1 (k1 ₎ och fjäder p (kP ₎ är seriekopplade. Den ekvivalenta fjäderkonstanten:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

ks = 400/3 ^Nm ₋₁

Den ekvivalenta fjäderkonstanten är 400/3 Nm ^-1

Bestäm längdförändringen för den ekvivalenta fjädern:

Ekvationen för Hookes lag:

∆x = F / k = w / k

Längdförändringen för den ekvivalenta fjädern:

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Vårens konstant

3. Vad är fjäderns konstant enligt uppgifterna i tabellen nedan.

lösning:

Ekvationen för Hookes lag:

k = F / Δx

Vårkonstant:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m²

4. Tre fjädrar är seriekopplade parallellt som visas i figuren nedan. Fjäderns konstanter k1 ₌ k2 ₌ 3 Nm ⁻¹ och k3 ₌ 6 Nm ⁻¹ . Vad är konstanten för fjäderns ekvivalent?

Känd:

Fjäderkonstant 1 (k1 ₎ = fjäderkonstant 2 (k2 ₎ = 3 Nm ⁻¹

Fjäderkonstant 3 (k3 ₎ = 6 Nm ⁻¹

Önskad: konstant för den ekvivalenta fjädern (k)

lösning:

Fjäder 1 (k1 ₎ och fjäder 2 (k2 ₎ är parallellkopplade. Konstanten för den ekvivalenta fjädern:

k _p = k ₁ + k ₂ = 3 + 3 = 6 Nm ⁻¹

Fjädern p (kP ₎ och fjädern 3 (k3 ₎ är seriekopplade. Konstanten för den ekvivalenta fjädern:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

ks = 6/2 = 3 ^Nm ₋₁

Konstanten för fjäderns ekvivalent = 3 Nm ⁻¹.

5. En fjäder med längden L, dragen av vikten w. Enligt data i tabellen nedan, vad är konstanten för den ekvivalenta fjädern:

lösning:

k = F / Δx

Vårkonstant:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m²

6. Enligt data i tabellen nedan, vad är konstanten för den ekvivalenta fjädern:

lösning:

k = F / Δx = w / Δx = mg / Δx

k = elasticitetskonstant, w = vikt, m = massa, g = tyngdacceleration, Δx = längdförändring

Fjäderkonstant:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Om k1 ₌ 4k, vad är konstanten för den ekvivalenta fjädern?

lösning:

Två fjädrar är parallellkopplade. Konstanten för den ekvivalenta fjädern:

k _p = k + k = 2k

Två fjädrar är seriekopplade. Konstanten för den ekvivalenta fjädern

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1 / 2k + 1 / 4k = 2 / 4k + 1 / 4k = 3 / 4k

ks = 4k/ ₃

8. Enligt data i tabellen nedan, vad är konstanten för den ekvivalenta fjädern:

lösning:

Ekvationen för Hookes lag:

k = F / ΔL

Vårkonstant:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 Nm ^-1

9. Den minsta konstanten är…

Lösning

Ekvationen för Hookes lag:

k = F / Δx

k = elasticitetskonstant, F = kraft, Δx = längdförändring

Elasticitetskonstant:

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

k _B = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/m

k _C = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/m

k _D = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Vilken är den största konstanten enligt data i tabellen nedan?

lösning:

Ekvationen för Hookes lag:

k = F / Δx

k _A = 7 / 0.035 = 200 Nm ^-1

kB = 8 / 0.025 = 320 Nm ^- ₁

kC = 6 / 0.020 = 300 Nm ^- ₁

kD = 9 / 0.045 = 200 _Nm ^-1

k _E = 10 / 0.033 = 303 Nm ^-1

Den största konstanten är 320 ^Nm⁻¹.

11. Grafen nedan visar sambandet mellan kraftförändringen (ΔF) och längdökningen (Δx). Vilken är grafen som visar den minsta elasticitetskonstanten?

Lösning

Ekvationen för Hookes lag:

k = F / Δx

Δx = längdförändringen, F = kraften, k = elasticitetskonstanten

Elasticitetskonstant:

k _A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

k _B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

k _C = F / Δx = 6 / 6 = 1

kD = F / Δx = 3 / 5 = _0.6

k _E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Vilken graf h har de största elastiska konstanterna?

lösning:

Elasticitetskonstant :​

k _A = F / Δx = 50 / 10 = 5

k _B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

k _C = F / Δx = 5 / 0.1 = 50

kD = F / Δx = 500 / 0.1 = ₅₀₀₀

k _E = F / Δx = 500 / 10 = 50

Vårens potentiella energi:

13. Diagrammet nedan visar sambandet mellan kraft och förändringen i fjäderlängd. Vad är fjäderns potentiella energi enligt diagrammet nedan?

Känd:

F = 40N

x = 0.08 meter

Önskad : Vårens potentiella energi

lösning:

Vårkonstant:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Vårens potentiella energi:

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 Joule

14. Ett 2 kg-block är fäst vid en fjäder. Om fjäderns längd ökar med 5 cm och tyngdaccelerationen är 10 m/s² ^, vad är då fjäderns potentiella energi?

Känd:

Längdökningen (Δx) = 5 cm = 0.05 meter

Tyngdacceleration (g) = 10 m/ ^s²

Blockets massa (m) = 2 kg

Blockets vikt (w) = mg = (2)(10) = 20 Newton

Önskad: vårens potentiella energi

lösning:

Elasticitetskonstanten:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Vårens potentiella energi:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.05) ² = (200)(0.0025)

PE = 0.5 Joule

15. Fjäderns längdförändring är 5 cm när den dras med en kraft på 20 N. Vad är fjäderns potentiella energi när fjäderns längdförändring är 10 cm?

Känd:

Längdförändringen (Δx) = 5 cm = 0.05 meter

Kraft (F) = 20 Newton

Önskad : Vårens potentiella energi

lösning:

Vårens konstant:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Fjäderns potentiella energi när Δx = 10 cm = 0.1 m:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.1) ² = (200)(0.01)

PE = 2 Joule

Objektets vikt

16. Fyra fjädrar där konstanten för varje fjäder är 800 N/m, seriekopplade och parallellt kopplade, som visas i figuren. Ett block är fäst vid fjädern. Längdförändringen för alla fjädrar är 5 cm. Vad är blockens vikt?

Känd:

k1 ₌ k2 = k3 ₌ k4 _{= 800} Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Önskas: blockets vikt (w)

lösning:

Bestäm konstanten för den ekvivalenta fjädern

Vår 1 (k₁), fjäder 2 (k₂) och fjäder 3 (k₃) är parallellkopplade. Konstanten för den ekvivalenta fjädern:

k _p = k ₁ + k ₂ + k ₃ = 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ⁻¹

Fjädern p (kP ₎ och fjädern 4 (k4 ₎ är seriekopplade. Konstanten för den ekvivalenta fjädern:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

ks = 2400/4 = 600 ^Nm ₋₁

Konstanten för den ekvivalenta fjädern är 600 ^Nm⁻¹

Bestäm föremålets vikt:

Ekvationen för Hookes lag:

F = kΔx eller w = kΔx

Objektets vikt:

w = (600 Nm ^-1 )(0.05 m) = 30 Newton

17. Fyra fjädrar är seriekopplade och parallellt kopplade. Konstanten för varje fjäder är 1600 N/m. Ett block är fäst i änden av fjädern, som visas i figuren. Längdökningen för alla fjädrar är 5 cm. Vad är blockens vikt?

Känd:

k1 ₌ k2 = k3 ₌ k4 _{= 1600} Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Önskat: vikt på block

lösning:

Bestäm konstanten för den ekvivalenta fjädern

Vår 1 (k₁), fjäder 2 (k₂) och fjäder 3 (k₃) är parallellkopplade. Konstanten för den ekvivalenta fjädern:

kP = k1 ₊ k2 ₊ k3 ₌ 1600 + 1600 + 1600 = 4800 _Nm ⁻¹

Fjädern p (kP ₎ och fjädern 4 (k4 ₎ är seriekopplade. Konstanten för den ekvivalenta fjädern:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

ks = 4800/4 = 1200 ^Nm ₋₁

Konstanten för den ekvivalenta fjädern är 1200 ^Nm⁻¹

Bestäm föremålets vikt:

Ekvationen för Hookes lag:

F = kΔx eller w = kΔx

Objektets vikt:

w = (1200 Nm ^-1 )(0.05 m) = 60 Newton

1. Vad är Hookes lag?
   • Svar: Hookes lag beskriver förhållandet mellan den kraft som appliceras på ett elastiskt föremål och den resulterande deformationen (vanligtvis förlängning eller kompression). Mer specifikt anger den att den kraft som krävs för att komprimera eller förlänga en fjäder är direkt proportionell mot hur långt den sträcks eller komprimeras, förutsatt att elasticitetsgränsen inte överskrids.
2. Vad betyder det när vi säger att ett material har nått sin elasticitetsgräns?
   • Svar: När ett material har nått sin elasticitetsgräns betyder det att det inte längre återgår till sin ursprungliga form eller storlek efter att den deformerande kraften har avlägsnats. Bortom denna punkt beter sig materialet plastiskt och kan deformeras permanent.
3. Hur relaterar fjäderkonstanten (k) till en fjäders styvhet?
   • Svar: Fjäderkonstanten (k) är ett mått på en fjäders styvhet. Ett större värde på k indikerar en styvare fjäder, vilket innebär att mer kraft behövs för att deformera den en given mängd, medan ett mindre k indikerar en mer eftergivlig eller mjukare fjäder.
4. Vilka enheter har fjäderkonstanten i SI-systemet?
   • Svar: I SI-systemet är enheterna för fjäderkonstanten (k) Newton per meter (N/m).
5. Varför anses beteendet som beskrivs av Hookes lag vara linjärt?
   • Svar: Beteendet anses linjärt eftersom förhållandet mellan den applicerade kraften (F) och förskjutningen (x) är en rak linje, med förhållandet angivet som $F=kx$, där k är en konstant för ett givet material eller en fjäder.
6. Är Hookes lag endast tillämplig på fjädrar?
   • Svar: Nej, Hookes lag är tillämplig på alla elastiska material som deformeras linjärt med den applicerade kraften, upp till dess elasticitetsgräns. Medan fjädrar är ett vanligt exempel, kan andra material som gummiband, metaller under små deformationer och vissa biologiska vävnader också uppvisa beteenden som beskrivs av Hookes lag.
7. Vad händer om ett material sträcks ut över sin elasticitetsgräns men inte tillräckligt för att det ska gå sönder?
   • Svar: Om ett material sträcks bortom sin elasticitetsgräns men inte till den grad att det brister, kommer det att genomgå plastisk deformation. Det betyder att när kraften avlägsnas kommer materialet inte att återgå helt till sin ursprungliga form, och en viss permanent deformation kommer att kvarstå.
8. Hur relaterar begreppen spänning och töjning till Hookes lag?
   • Svar: Spänning är den kraft som appliceras per ytenhet, och töjning är den relativa deformationen av ett material. Hookes lag, i termer av spänning och töjning, säger att spänningen är direkt proportionell mot töjningen, där proportionalitetskonstanten är materialets elasticitetsmodul. Detta är ett annat sätt att uttrycka det linjära förhållandet mellan kraft och deformation, men för bulkmaterial snarare än bara fjädrar.
9. Vad är Youngs modul och hur relaterar den till elasticitet?
   • Svar: Youngs modul, vanligtvis representerad av bokstaven $E$, är ett mått på ett materials styvhet i termer av spänning eller kompression. Det beskriver materialets förmåga att motstå deformation under en applicerad kraft. En högre Youngs modul indikerar ett styvare material, och det definieras som förhållandet mellan spänning och töjning.
10. Kan alla material beskrivas med Hookes lag?

• Svar: Nej, inte alla material beter sig enligt Hookes lag. Många material, särskilt de som är icke-linjära, viskoelastiska eller plastiska, uppvisar inte ett linjärt samband mellan spänning och töjning. Hookes lag är en idealiserad beskrivning och är mest exakt för små deformationer av elastiska material.