Bevarande av mekanisk energi – problem och lösningar
1. Ett block på m kg släpps från toppen av det släta lutande planet , som visas i figuren nedan. Jämförelsen mellan blockets gravitationella potentiella energi och kinetiska energi vid punkten M är…
Lösning
Gravitationspotentialenergi vid punkt M:
PE M = mg (1/3h) = 1/3 mgh
Kinetisk energi vid punkt M:
KE M = EP = mg (2/3 h) = 2/3 mgh
EP M : EK M
1/3 mgh: 2/3 mgh
1/3 : 2/3
1: 2
2. En isåkare som glider från höjden A, som visas i figuren nedan. Om initialhastigheten = 0 och tyngdaccelerationen är 10 ms -2 , vad är då skidåkarens hastighet vid punkt B?
Känd:
Initialhastighet (v o ) = 0
Tyngdacceleration (g) = 10 m/ s²
Höjdförändringen = 50 meter – 10 meter = 40 meter
Önskad: Skidåkarens hastighet vid punkt B
lösning:
Principen om bevarande av mekanisk energi säger att den initiala mekaniska energin = den slutliga mekaniska energin.
Den initiala mekaniska energin = potentiell energi vid punkt B (höjd = 40 meter)
Den slutliga mekaniska energin = kinetisk energi vid punkt B
Den slutliga mekaniska energin = Den initiala mekaniska energin
½ mv t² = mgh
½ v t 2 = gh
½ v t² = ( 10 )(50-10)
½ vt² = ( 10 )(40)
½ vt² = 400
vt² = ( 2 )(400) = 800
v t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s
3. Ett föremål börjar glida från punkt A utan initialhastighet. Om det inte finns någon friktionskraft, vad är föremålets hastighet vid den lägsta punkten?
Känd:
Objektets massa = m
Initialhastighet (v o ) = 0
Höjd (h) = 20 meter
Tyngdacceleration (g) = 10 m/ s²
Önskad: Sluthastighet (v t )
lösning:
Initial mekanisk energi (ME1 ) = Gravitationspotentialenergi vid punkt A (PEA ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
Slutlig mekanisk energi (ME² ) = kinetisk energi (KE) = ½ mv t²
Objektets hastighet vid den lägsta punkten (v t )?
Tillämpa principen om bevarande av mekanisk energi, vilket säger att den initiala mekaniska energin = den slutliga mekaniska energin.
EM1 = EM2
200 m = ½ mv / t²
200 = ½ vt²
400 = vt 2
vt = 20 m/ s
4. En 2 kg tung boll faller fritt från punkt A, som visas i figuren nedan (g = 10 ms -2 ). Efter att ha anlänt till punkt B är den kinetiska energin = 2 gånger den potentiella energin. Vad är höjden för punkt B över jordytan?
Känd:
Kulans massa (m) = 2 kg
Tyngdacceleration (g) = 10 ms -2
Punkt A:s höjd (h A ) = 90 meter
Önskad: Höjd på punkt B (h B )
lösning:
När bollen anländer till punkt B är den kinetiska energin i punkt B = 2 gånger den potentiella gravitationsenergin i punkt B.
EK = 2 EP
½ mv² = 2 mgh B
½ v 2 = 2 gh B
v 2 = 2(2)(10) h B
v 2 = 40 timmar B
Bollens hastighet (v) när den anländer till punkt B efter fritt fall från punkt A:
v 2 = 2 gh = 2(10)(90–h B ) = 20(90–h B )
Ersätt v₂ i ovanstående ekvation med v₂ i denna ekvation.
v 2 = 40 timmar B
20(90–h B ) = 40 h B
1800–20 timmar B = 40 timmar B
1800 = 40 timmar B + 20 timmar B
1800 = 60 timmar B
h B = 1800 / 60
hB = 30 meter
5. En boll på 1 kg släpps och glider ner från punkt A till punkt C, som visas i figuren nedan. Om tyngdaccelerationen = 10 ms -2 , vad är bollens kinetiska energi när den anländer till punkt C?
Känd:
Kulans massa (m) = 1 kg
Tyngdacceleration (g) = 10 m/ s²
Höjdförändringen (h) = 0.75 m
Den initiala potentiella energin (PE₂o₀ ) = mgh = (1)(10⁻⁶)(0.75) = 7.5 Joule
Initial kinetisk energi (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Den slutliga gravitationella potentiella energin (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Önskad: Kulans kinetiska energi vid punkt C
lösning:
Den initiala mekaniska energin (ME o ) = Den slutliga mekaniska energin (ME t )
Den initiala gravitationella potentiella energin (PE₂o₀ ) + den initiala kinetiska energin (KE₂o₀ ) = Den slutliga gravitationella potentiella energin (PE₂t ) + den slutliga kinetiska energin ( KE₂t )
7.5 Joule + 0 = 0 + KE t
7.5 Joule = KE t
Kulans kinetiska energi vid punkten C = 7.5 joule.
6. En 2 kg tung boll släpps från punkt A, som visas i figuren nedan. Kurvplanet är jämnt. Om tyngdaccelerationen är 10 ms -2 , vad är då bollens kinetiska energi vid punkt B?
Känd:
Kulans massa (m) = 2 kg
Tyngdacceleration (g) = 10 m/ s²
Höjdförändringen (h) = 120 cm = 1.2 meter
Den initiala gravitationella potentiella energin (PE₂o₀ ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 Joule
Den initiala kinetiska energin (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Den slutliga gravitationella potentiella energin (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Önskad: Kulans kinetiska energi vid punkt B
lösning:
Den mekaniska energin vid punkt A (initial mekanisk energi) = den mekaniska energin vid punkt B (den slutliga mekaniska energin)
Den initiala mekaniska energin (ME o ) = den slutliga mekaniska energin (ME t )
Den initiala gravitationella potentiella energin (PE₂o₀ ) + den initiala kinetiska energin (KE₂o₀ ) = den slutliga gravitationella potentiella energin (PE₂t ) + den slutliga kinetiska energin ( KE₂t )
24 Joule + 0 = 0 + KE t
24 Joule = KE t
Kulans kinetiska energi (KE) vid punkten C = 24 joule.
7. Ett objekt har en fast mekanisk energi, större kinetisk energi och en mindre potentiell gravitationsenergi. Objektet är…
A. I vila
B. röra sig uppåt
C. röra sig nedåt
D. Accelererade uppåt
lösning:
Den kinetiska energin blir större, vilket betyder att objektets hastighet blir större och den potentiella gravitationsenergin blir mindre, vilket betyder att objektets höjd från markytan blir mindre. Detta händer när objektet rör sig från en viss höjd ner till marken.
Sambandet mellan hastighet och kinetisk energi visas med formeln för kinetisk energi:
KE = ½ mv²
Beskrivning av formeln: KE = kinetisk energi, m = massa, v = hastighet
Sambandet mellan höjd och gravitationell potentiell energi representeras av formeln för gravitationell potentiell energi:
PE = mgh
Beskrivning av formeln: PE = potentiell gravitationsenergi, m = massa, g = tyngdacceleration, h = höjd
Rätt svar är C.
- Vad är mekanisk energi?
- Svar: Mekanisk energi är summan av ett objekts kinetiska energi och potentiella energi. Kinetisk energi avser ett objekts rörelse, medan potentiell energi avser dess position eller konfiguration.
- Vad anger principen om bevarande av mekanisk energi?
- Svar: Principen säger att i ett isolerat system med endast konservativa krafter som verkar, förblir den totala mekaniska energin konstant. Det betyder att summan av kinetisk och potentiell energi inte förändras över tid.
- Hur påverkar konservativa och icke-konservativa krafter bevarandet av mekanisk energi?
- Svar: Konservativa krafter, som gravitationen, förändrar inte den totala mekaniska energin i ett system. De kan omvandla potentiell energi till kinetisk energi eller vice versa, men summan förblir konstant. Icke-konservativa krafter, som friktion, kan avleda mekanisk energi och vanligtvis omvandla den till termisk energi.
- Varför bevaras inte mekanisk energi i verkliga scenarier med friktion?
- Svar: Friktion är en icke-konservativ kraft. När föremål rör sig mot varandra omvandlar friktionen en del av systemets mekaniska energi till termisk energi, vilket leder till en minskning av systemets totala mekaniska energi.
- Hur demonstreras bevarandet av mekanisk energi i en svängande pendel?
- Svar: I avsaknad av luftmotstånd (en icke-konservativ kraft) omvandlas pendelns kinetiska energi till potentiell gravitationsenergi när den svänger uppåt. Vid den högsta punkten av sin svängning har den maximal potentiell energi och minimal kinetisk energi. När den svänger tillbaka nedåt omvandlas denna potentiella energi tillbaka till kinetisk energi. Den totala mekaniska energin förblir konstant, även om energiformerna utbyts.
- Varför stannar en studsande boll så småningom även utan yttre krafter?
- Svar: När en boll studsar omvandlas inte all dess kinetiska energi tillbaka till potentiell energi. En del energi går förlorad, ofta som ljud eller deformation av bollen, och särskilt på grund av inre friktion i bollens material. Dessa är former av icke-konservativa krafter som är i spel och som minskar bollens mekaniska energi med varje studs tills den stannar.
- Var i en berg-och-dalbana finns den högsta respektive lägsta mekaniska energin?
- Svar: Berg-och-dalbanan förblir konstant om vi bortser från luftmotstånd och friktion. Vid den högsta punkten är dock den potentiella energin som högst medan den kinetiska energin är som minimum. När den går neråt omvandlas potentiell energi till kinetisk energi, så vid den lägsta punkten är den kinetiska energin som högst och den potentiella energin som minimum.
- Hur hjälper bevarandet av mekanisk energi till att förstå planetbanor?
- Svar: Planeter som kretsar kring en stjärna som solen har både kinetisk energi (på grund av sin rörelse) och gravitationell potentiell energi (på grund av sin position i förhållande till solen). När en planet rör sig närmare solen ökar den i hastighet, vilket ökar dess kinetiska energi medan dess gravitationella potentiella energi minskar, och vice versa. Planetens totala mekaniska energi förblir konstant över tid, förutsatt att andra krafter (som från andra planeter) är försumbara.
- Varför faller inte en satellit i en stabil omloppsbana ner i jorden?
- Svar: Medan satelliten faktiskt dras mot jorden på grund av gravitationen, håller dess framåtriktade kinetiska energi den i rörelse i sin omloppsbana. Balansen mellan denna kinetiska energi och gravitationspotentialenergi håller satelliten i en stabil omloppsbana med konstant mekanisk energi.
- Om en skidåkare startar från stillastående på toppen av en friktionsfri backe och sedan åker skidor nedför, hur kommer hennes hastighet längst ner i jämförelse med om hon började halvvägs nerför backen?
- Svar: I en friktionsfri backe bevaras skidåkarens totala mekaniska energi. Om hon börjar från toppen har hon mer potentiell energi till att börja med än om hon börjar halvvägs ner. Denna potentiella energi omvandlas helt till kinetisk energi när den åker ner. Således kommer hon att vara snabbare längst ner om hon börjar på toppen än om hon börjar halvvägs ner.
