1. Definition av tyngdpunkt
En stel kropp består av många partiklar; därför verkar gravitationskraften på var och en av dessa partiklar. Med andra ord har varje partikel sin egen vikt. Ett objekts tyngdpunkt är en punkt på objektet där vikten av alla delar av objektet anses vara centrerad i den punkten.
Om ett objekt är homogent (tätheten hos varje del av objektet är densamma eller objektet är sammansatt av liknande material) och objektets form är symmetrisk (till exempel kvadratisk, rektangulär, cirkel)
då sammanfaller objektets vikt med objektets masscentrum, som är beläget i objektets centrum. För trianglar är masscentrumet beläget vid 1/3 h (h = triangelns höjd).
2. Tyngdpunktens ekvation
Om objektets form är symmetrisk och objektet är homogent, sammanfaller objektets tyngdpunkt med objektets massacentrum,
där tyngdpunkten och masscentrumet är belägna i objektets centrum. Omvänt, om objektet är homogent men inte symmetriskt, kan objektets vikts position bestämmas med hjälp av följande formel.
Koordinaterna för objektets vikt på x-axeln:
Koordinaterna för objektets vikt på y-axeln:
x = objektets mittpunkt på x-axeln, y = objektets mittpunkt på y-axeln, A = arean. Om objektet är tredimensionellt, förutom att bestämma koordinaterna för objektets vikt på x- och y-axlarna, bestäms även koordinaterna för objektets vikt på z-axeln. Arean (A) ersätts av volymen (V).
Exempelproblem 1.
Bestäm koordinaterna för tyngdpunkten för det homogena objektet i figuren på sidan!
Lösning:
Dela upp objektet i tre delar.
A1 = (10-0)(10-0) = (10)(10) = 100
A2 = (20-10)(30-0) = (10)(30) = 300
A3 = (30-20)(10-0) = (10)(10) = 100
x1 = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5
x2 = 1⁄2 (20-10) + 10 = 1⁄2 (10) + 10 = 5 + 10 = 15
x3 = 1⁄2 (30-20) + 20 = 1⁄2 (10) + 20 = 5 + 20 = 25
y1 = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5
y2 = 1⁄2 (30-0) = 1⁄2 (30) = 15
y3 = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5
Koordinaterna för objektets vikt på x-axeln:
Koordinaterna för objektets vikt på y-axeln:
Koordinaterna för objektets vikt är (15; 11)
Exempelproblem 2.
Bestäm koordinaterna för objektets vikt i figuren!
Lösning:
Dela upp objektet i två delar, area 1 = kvadrat, area 2 = triangel.
A1 = (5-1)(3-0) = (4)(3) = 12
A2 = 1⁄2 (6-0)(9-3) = 1⁄2 (6)(6) = (3)(6) = 18
x1 = 1⁄2 (5-1) + 1 = 1⁄2 (4) + 1 = 2 + 1 = 3
x2 = 1⁄2 (6-0) = 1⁄2 (6) = 3
y1 = 1⁄2 (3-0) = 1⁄2 (3) = 1.5
y2 = 1/3(9-3) + 3 = 1/3(6) + 3 = 2 + 3 = 5
Koordinaterna för objektets vikt på x-axeln:
Koordinaterna för objektets vikt på y-axeln:
Koordinaten för objektets vikt är (3; 3.6)
