Bernoullis princip och Bernoullis ekvation

Artikel om Bernoullis princip och Bernoullis ekvation

När vi kör motorcykel svullnar kläderna vi har på oss bakåt. Ibland, om vinden blåser hårt, kan dörren stängas av sig själv. Även om vinden blåser utanför huset, är dörren inne i huset.

Detta kan förklaras med hjälp av Bernoullis princip. Daniel Bernoulli (1700-1782) upptäckte en princip som kunde användas för att förklara ovanstående fenomen.

Bernoullis princip

Bernoullis princip säger att om vätskeflödets hastighet är hög, är vätsketrycket lågt. Omvänt, om vätskeflödets hastighet är låg, är vätsketrycket högt. När en motorcykel rör sig snabbt är lufthastigheten på framsidan och sidorna av din kropp hög. Således blir lufttrycket lågt. Baksidan av din kropp blockeras av framsidan av din kropp, så lufthastigheten på baksidan av din kropp blir inte hög. Som ett resultat blir lufttrycket på baksidan av din kropp högre. Eftersom det finns en skillnad i lufttryck, där lufttrycket på baksidan av kroppen är högre, trycker luften din skjorta bakåt så att dina kläder ser uppsvällda bakåt.

Hur är det med husdörren som stängs av sig själv när vinden blåser utanför huset? Luften utanför huset rör sig snabbare än luften inuti huset. Som ett resultat är lufttrycket utanför huset mindre än lufttrycket inuti huset. Eftersom det finns en tryckskillnad, där lufttrycket inuti huset är större, trycks dörren ut. Med andra ord rör sig dörrbladet från en plats där lufttrycket är stort mot en plats där lufttrycket är litet.

Bernoullis ekvation

Tidigare har vi lärt oss om Bernoullis princip. Bernoullis ekvation utvecklade även principen kvantitativt. För att härleda Bernoullis ekvation antar vi att vätskeflödet är stationärt och laminärt, okomprimerat, och att viskositeten är minimal så att den kan ignoreras.

I diskussionen om kontinuitetsekvationen har vi lärt oss att vätskeflödeshastigheten också kan variera beroende på flödesrörets flödesarea. Baserat på Bernoullis princip som beskrivs ovan kan vätsketrycket också variera beroende på vätskans flödeshastighet. Vätsketrycket kan också variera beroende på vätskans höjd. Sambandet mellan tryck, flödeshastighet och flödeshöjd kan erhållas i Bernoullis ekvation.

Bernoullis ekvation är avgörande eftersom den kan användas för att analysera flygplan, vattenkraftverk, rörsystem etc. För att Bernoullis ekvation ska kunna härledas generellt antar vi att vätskan flödar genom ett flödesrör med en tvärsnittsarea som inte är densamma och att höjden också är olika. För att härleda Bernoullis ekvation tillämpar vi satsen för arbete och energi på vätskan i flödesröret.

Den ogenomskinliga färgen i flödesröret i figuren nedan visar vätskeflöde, medan den vita färgen visar ingen vätska.

Vätska i tvärsnittsarean 1 (vänster sida) strömmar så långt som L₁ och tvingar vätskan i sektion 2 (höger sida) att röra sig så långt som L₂Eftersom tvärsnittsarean 2 till höger är mindre, är vätskeflödets hastighet på höger sida av flödesröret större (Kom ihåg kontinuitetsekvationen). Detta orsakar en tryckskillnad mellan sektion 2 (höger sida av flödesröret) och sektion 1 (vänster sida av flödesröret) – Kom ihåg Bernoullis princip. Vätskan som är till vänster om sektion 1 ger tryck (P₁) på vätskan till höger och fungerar:

Sedan W₁ ekvationen kan skrivas:

W₁ = s₁ A₁ L₁

I sektion 2 (höger sida av flödesröret) är arbetet som utförs på vätskan:

W₂ = − p₂ A₂ L₂

Ett negativt tecken indikerar att den pålagda kraften är motsatt rörelseriktningen. Fluiden utför alltså arbete till höger om tvärsnitt 2. Dessutom utför gravitationskraften arbete på fluiden. I fallet ovan överförs vissa fluidmassor från sektion 1 så långt som L₁ till avsnitt 2 så långt som L₂, där är vätskevolymen i sektion 1 (A₁ L₁) = vätskevolym i sektion 2 (A₂ L₂). Arbetet som gravitationen utför är:

W₃ = − mg (timmar₂ - h₁)

W₃ = − mgh₂ + mgh₁)

W₃ = mgh₁ - mgh₂

Ett negativt tecken orsakas av att vätskan strömmar uppåt, i motsats till gravitationsriktningen. Således är nettoarbetet som utförs på vätskan:

W = W₁ + W₂ + W₃

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Arbete-energisatsen säger att nettoarbetet som utförs på ett system är detsamma som förändringen i den kinetiska energin. Således kan vi ersätta arbete (W) med förändringarna i den kinetiska energin (EK₂ – EK₁).

Ekvationen ovan kan skrivas om:

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ ‐ EK₁ = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1⁄2 mv₂² – 1⁄2 mv₁² = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Den flytande massan som strömmar så långt som L₁ i tvärsnitt A₁ = massan av vätska som strömmar så långt som L₂ (tvärsnitt A₂Vätskan, säg m, har volymen A₁ L₁ och A₂ L₂ där A₁ L₁ = A₂ L₂ (L₂ är längre än L₁).

Nu ersätter vi m i ovanstående ekvation med m = ρ AL:

Detta är Bernoullis ekvation. Bernoullis ekvation är härledd baserat på principen om arbete-energi, vilket gör den till en form av energins bevarande.

P = tryck, ρ = densitet, v = vätskans hastighet, g = tyngdaccelerationen, h = rörets höjd över marken.

De vänstra och högra segmenten av Bernoullis ekvation ovan kan referera till två punkter var som helst längs flödesröret så att vi kan skriva om ovanstående ekvation till:

Låt oss nu granska Bernoullis ekvation för några fall.

Bernoullis ekvation i statiska vätskor

Specialfallet i Bernoullis ekvation gäller för statiska fluider, där fluiden inte har någon hastighet. Således, v₁ = v₂ = 0. När det gäller en statisk vätska kan vi formulera Bernoullis ekvation till:

Om h₂ - h₁ = h, kan denna ekvation skrivas som:

p₁ - p₂ = ρ g (h₂ - h₁)

p₁ - p₂ = ρ gh

Bernoullis ekvation på rör med samma höjd

Om rörets höjd är densamma ändras Bernoullis ekvation till: