Exempelfrågor som diskuterar ekvationen för en tangentlinje till en cirkel
Pendahuluan
Ekvationen för en tangent till en cirkel är ett viktigt ämne inom analytisk geometri. Att förstå hur man bestämmer ekvationen för en tangent till en cirkel kan hjälpa till att lösa en mängd olika matematiska problem på mellannivå till avancerad nivå. Den här artikeln kommer att diskutera olika exempelproblem och metoder för att bestämma ekvationen för en tangent till en cirkel.
Definition och grundläggande teori
En cirkel i koordinatplanet kan vanligtvis representeras av en kvadratisk ekvation:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
där \((a, b)\) är cirkelns mittpunkt och \(r\) är cirkelns radie.
En tangent till en cirkel från en extern punkt är en linje som berör cirkeln i exakt en punkt. Om vi antar att linjen har ekvationen:
\[y = mx + c \]
då kan villkoret att linjen \(y = mx + c\) ska vara tangent till cirkeln uttryckas på följande form:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Där \(m\) är tangentens lutning och \(c\) är en konstant.
Tangentlinjeekvationsformel
För en tangent till en cirkel med centrum \(0,0)\) och radie \(r\) är dess ekvation i punkten \((x_1, y_1)\) på cirkeln:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
Men om cirkelns centrum är i punkten \((a, b)\), så är ekvationen:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Exempelfrågor och diskussioner
Fråga 1
En cirkel med centrum vid \((3, 4)\) och radie 5 enheter. Bestäm ekvationen för tangentlinjen från punkten \((6, 8)\).
Diskussion:
I det här problemet får vi en cirkel med centrum _(3, 4)_, radien 5, och vi måste hitta ekvationen för tangentlinjen från punkten _(6, 8)_. Här är stegen för att lösa det:
1. Verifiera att punkten \((6, 8)\) inte ligger innanför cirkeln: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Så punkten ligger på cirkeln så den kan användas för att hitta tangenten.
2. Med hjälp av formeln:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Förenkla ekvationen:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Utveckla:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
Ekvationen för den erhållna tangentlinjen är:
\[
3x + 4y = 50
\]
Fråga 2
Cirkla med ekvationen \[x^2 + y^2 = 16\]. Bestäm ekvationen för tangentlinjen från punkten \((4, 0)\).
Diskussion:
En cirkel med centrum vid _(0, 0)_) och radie 4 enheter. Den givna yttre punkten är _(4, 0)_).
1. Med hjälp av formeln för en cirkel med centrum \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Värdesubstitution:
\[
4x + 0 ⋅ y = 4^2
\]
3. Förenkla:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Vilket betyder att tangentekvationen vi har är:
\[
x = 4
\]
Fråga 3
Bilda en linje som tangerar cirkeln \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) i punkten \((-1, 5)\).
Diskussion:
En cirkel med centrum vid −2, 3) och radie 3 enheter. Tangenspunkten är −1, 5).
1. Verifiera att punkten ligger på cirkeln:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{inte på cirkeln}
\]
Således kan det bli ett fel i inmatningen av frågan eller punkten. Om \((-2, 6)\) anges som tangeringspunkt:
2. Förenkla:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Utbyte:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Resultat:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
y = 6
Det visar sig att punkt och person:
y = 6 är definitivt giltigt.
Slutsats kontrollera kombination, memorera, 2 sätt att räkna.
giltig/falsk..Det Plus sammanfattning gar. td 2; form validera med (rutnät). plis omkrets alla täckningsbuntar.
Det var allt, tack och jag hoppas att detta är användbart för mina vänner.
Lär dig dessutom konceptet att stärka förståelsen.
De som tidigare inte förstod, om Gud vill, kommer att få mer detaljerade kritiska kirurgiska steg.
\[
.fakta(n+x)=qa.\färg{förhindrar}-fu.
"
