Exempelfrågor som diskuterar trigonometriska förhållanden
Trigonometri är en gren av matematiken som behandlar förhållandet mellan längder och vinklar i trianglar. Trigonometriska förhållanden spelar en nyckelroll inom olika områden som teknik, fysik, astronomi och till och med vardagslivet. Den här artikeln kommer att granska flera exempelproblem och deras lösningar för att hjälpa dig att förstå de grundläggande begreppen trigonometriska förhållanden.
Trigonometriska förhållanden i rätvinkliga trianglar
Låt oss börja med att förstå de grundläggande förhållandena i en rätvinklig triangel. Dessa förhållanden kallas sinus (sinus), cosinus (cos) och tangens (tan). I en rätvinklig triangel finns det tre viktiga sidor som vi behöver identifiera:
1. Motsatt sida: Sidan som är direkt motsatt den vinkel vi betraktar.
2. Angränsande sida: Den sida som ligger intill den vinkel vi betraktar.
3. Hypotenusan: Den längsta sidan i en rätvinklig triangel mittemot den räta vinkeln.
Exempelfråga 1
Givet en rätvinklig triangel med vinkeln θ, där den motsatta sidan till vinkeln θ har en längd på 3 enheter, den intilliggande sidan har en längd på 4 enheter och hypotenusan har en längd på 5 enheter. Hitta värdena på sin, cos och tan för vinkeln θ.
Lösning:
För att hitta sinus-, cosinus- och tangentvärdena för vinkeln θ använder vi de grundläggande trigonometriska förhållandeformlerna:
– Sinus (sin) θ = Framsida / Hypotenus
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]
– Cosinus (cos) θ = Sida Sida / Hypotenusa
[ \cos θ = \frac{4}{5} \]
– Tangent (tan) θ = Framsida / Sida
[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Trigonometriska samband mellan andra vinklar
Trigonometriska förhållanden kan också tillämpas på andra vinklar i olika typer av trianglar, inklusive liksidiga trianglar och regelbundna trianglar. Det är viktigt att förstå grundläggande regler som sinusregeln och cosinusregeln, vilka gäller för trianglar som inte är rätvinkliga trianglar.
Exempelfråga 2
Givet en triangel ABC med sidorna a = 7 cm, b = 24 cm och vinkeln C = 90°. Bestäm längden på sidan c och värdena på vinklarna A och B.
Lösning:
Eftersom vinkel C är en rät vinkel kan vi använda Pythagoras sats för att hitta längden på sidan c (hypotenusan):
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[c = \sqrt{49 + 576} \]
\[c = \sqrt{625} \]
[c = 25, cm]
För att bestämma värdet på vinklarna A och B kan vi sedan använda grundläggande trigonometriska förhållanden.
För vinkel A använder vi cosinus:
\[ \cos A = \frac{\text{angränsande sida}}{\text{hypotenusan}} = \frac{24}{25} \]
[A = \cos^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
För vinkel B använder vi sinus:
\[ \sin B = \frac{\text{framsidan}}{\text{hypotenusan}} = \frac{24}{25} \]
[B = \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
Eftersom summan av vinklarna, förutom den räta, i en rätvinklig triangel måste vara 90°:
\[A + B = 90° \]
\[A = 90° – B \]
Sinusregeln
Sinusregeln uttrycks enligt följande:
[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
Exempelfråga 3
Givet en triangel med sidan a = 8 cm, sidan b = 15 cm och vinkeln C = 60°. Hitta vinkeln A och längden på sidan c med hjälp av sinusregeln.
Lösning:
Använd först sinusregeln för att hitta en av de andra vinklarna (till exempel vinkel A):
[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
[\frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]
Vi behöver först beräkna värdet på c. Eftersom vinkel C är 60° kan vi använda cosinusregeln:
[c² = a² + b² – 2ab \cos(C) \]
[c² = 8² + 15² – 2 ⋅ 8 × 15 × cos(60°)]
\[c^2 = 64 + 225 – 240 ⋅ 0.5 \]
\[c^2 = 289 – 120 \]
\[c^2 = 169 \]
[c = 13, cm]
Nu kan vi hitta vinkel A:
[\frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
Eftersom (sin 60° = 3/2):
[\frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
[\frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
[8 ⋅ 3 = 26 sinus A]
[sin A = 8 sqrt{3}/26}]
[sin A = 4 sqrt{3}/13}]
Slutligen, med hjälp av invers sinus:
[A = \sin^{-1}\vänster(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\höger) \]
Cosinusregeln
Cosinusregeln säger:
[c² = a² + b² – 2ab \cos C]
Exempelfråga 4
Givet en triangel med sidan a = 9 cm, sidan b = 12 cm och sidan c = 15 cm. Bestäm vinkeln C.
Lösning:
För att hitta vinkel C använder vi cosinusregeln:
[c² = a² + b² – 2ab \cos C]
[15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 ⋅ 9 ⋅ 12 ⋅ cos C]
\[ 225 = 81 + 144 – 216 \cos C \]
[225 = 225 – 216 \cos C \]
[0 = -216 \cos C \]
\[ \cos C = 0 \]
Härifrån vet vi att vinkel C är 90° eftersom cos 90° = 0.
Här är några exempelproblem som kan hjälpa dig att förstå trigonometriska förhållanden. Fortsatt övning med en mängd olika problem kommer att hjälpa dig att stärka din förståelse av dessa koncept. Vi hoppas att den här artikeln har varit till hjälp i ditt lärande!
