Exempelfrågor som diskuterar namngivning av sidorna i en rätvinklig triangel
Pendahuluan
En rätvinklig triangel är en triangel med en 90-graders vinkel. Denna triangel är avgörande inom matematik och dess olika tillämpningar, inklusive fysik, väg- och vattenbyggnad och många andra vetenskapsområden. En av grunderna i att studera rätvinkliga trianglar är att förstå namnen på varje sida och hur man identifierar dem. Den här artikeln kommer att behandla exempelproblem och diskutera namngivningen av sidorna i en rätvinklig triangel i detalj.
Namnge sidorna i en rätvinklig triangel
I en rätvinklig triangel finns det tre sidor som har speciella namn:
1. Hypotenusan: Detta är den längsta sidan i en rätvinklig triangel och är alltid mittemot den räta vinkeln.
2. Bas: En av de två sidor som bildar en rät vinkel.
3. Vinkelrät sida (höjd/vinkelrät): En av de två sidor som bildar en rät vinkel och vanligtvis anses vara vinkelrät mot basen.
Exempelfråga 1: Identifiera sidorna i en rätvinklig triangel
Fråga:
Givet en triangel ABC med rät vinkel vid B. Längden på AB är 3 cm, längden på BC är 4 cm och längden på AC är 5 cm. Bestäm namnet på varje sida i triangeln.
Diskussion:
1. Bestämning av hypotenusan:
Hypotenusan är den längsta sidan i en rätvinklig triangel, som är motsatt den räta vinkeln (∠B). Längden på AC = 5 cm är den längsta sidan, så AC är hypotenusan.
2. Bestäm bassidan och den vertikala sidan:
De två sidorna som bildar en rät vinkel är AB och BC. Genom att jämföra deras längder, BC (4 cm) och AB (3 cm), kan vi säga att AB, den kortare, är den vinkelräta sidan och BC är basen.
Så resultatet av att namnge sidorna är:
– Hypotenusan: AC
– Bassida: BC
– Vertikal sida: AB
Exempelfråga 2: Beräkna sidlängden i en rätvinklig triangel med hjälp av Pythagoras sats
Fråga:
Givet en triangel DEF med rät vinkel vid E. Längden på DE är 6 cm och längden på EF är 8 cm. Beräkna längden på sidan DF (hypotenusan).
Diskussion:
För att beräkna hypotenusans längd (DF) kan vi använda Pythagoras sats, som säger att i en rätvinklig triangel:
\[ \text{Hypotenusan}^2 = \text{Bassidan}^2 + \text{Vinklerik sida}^2 \]
I den här frågan:
– DE och EF är sidorna som bildar en rät vinkel, så DE och EF är bas- och vertikalsidorna.
– DE = 6 cm och EF = 8 cm.
Med hjälp av Pythagoras sats:
\[ DF^2 = DE^2 + EF^2 \]
\[ DF^2 = 6^2 + 8^2 \]
\[ DF^2 = 36 + 64 \]
\[ DF^2 = 100 \]
Att ta kvadratroten ur båda sidor:
\[DF = \sqrt{100} \]
\[ DF = 10 \text{ cm} \]
Så är längden på hypotenusan DF 10 cm.
Exempel 3: Bestämma längden på en vinkelrät sida med hjälp av Pythagoras sats
Fråga:
Triangeln MNO är en rätvinklig triangel med en rät vinkel vid N. Längden på MN är 9 cm och längden på hypotenusan MO är 15 cm. Beräkna längden på sidan NO.
Diskussion:
Från frågan vet vi att:
– MN är en av sidorna som bildar en rät vinkel (vertikal sida).
– MO är hypotenusan.
Använd Pythagoras sats för att hitta längden på NO:
\[ \text{Hypotenusan}^2 = \text{Bassidan}^2 + \text{Vinklerik sida}^2 \]
\[ 15^2 = 9^2 + NO^2 \]
\[225 = 81 + NEJ^2 \]
Isolering av NO^2:
\[ NR^2 = 225 – 81 \]
\[ NR^2 = 144 \]
Genom att ta kvadratroten ur båda sidor får man NO:
\[ NO = \sqrt{144} \]
\[ NEJ = 12 \text{ cm} \]
Så, längden på sidan NO är 12 cm.
Exempelfråga 4: Bestämning av bassidan med hjälp av Pythagoras sats
Fråga:
En triangel PQR med P som rät vinkel har längden PR (hypotenusan) på 13 cm och längden PQ (vinkelrät sida) på 5 cm. Beräkna längden på sidan QR (bassidan).
Diskussion:
Med hjälp av Pythagoras sats:
\[ \text{Hypotenusan}^2 = \text{Bassidan}^2 + \text{Vinklerik sida}^2 \]
\[ 13^2 = QR^2 + 5^2 \]
\[ 169 = QR^2 + 25 \]
Isolering av QR^2:
\[QR^2 = 169 – 25 \]
\[QR^2 = 144 \]
Ta kvadratroten ur båda sidor för att hitta QR:
[QR = 144]
[QR = 12 cm]
Så, längden på sidan QR är 12 cm.
slutsats
Genom att studera exemplen ovan kan vi identifiera och förstå namngivningen av sidorna i en rätvinklig triangel, samt använda Pythagoras sats för att beräkna längden på en okänd sida. Denna kunskap är avgörande för att lösa mer komplexa matematiska problem och dess tillämpningar inom olika områden. Att förstå dessa grundläggande begrepp gör det möjligt för eleverna att mer effektivt hantera utmaningar relaterade till triangulär geometri.
