Exempelfrågor och diskussion om produktmomentkorrelation
Produktmomentkorrelation, även känd som Pearson-korrelation, är en statistisk metod som används för att mäta styrkan och riktningen hos ett linjärt samband mellan två variabler. Denna metod är användbar inom olika områden, från akademisk forskning och affärsanalys till utvärdering av experiment inom naturvetenskap. Den här artikeln kommer att diskutera flera exempelproblem och deras lösningar för att beräkna produktmomentkorrelation.
Pendahuluan
Innan vi går in på exempelfrågorna är det en bra idé att förstå det grundläggande konceptet produktmomentkorrelation. Den allmänna formeln som används för att beräkna Pearson-korrelationskoefficienten (\(r\)) är:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Dimana:
– \(n \) är antalet datapar.
– \( \sum{XY} \) är summan av produkterna av \(X \) och \(Y \).
– \( \sum{X} \) är summan av variablerna \(X \).
– \( \sum{Y} \) är summan av variablerna \(Y \).
– \( \sum{X^2} \) är summan av kvadraterna av variabeln \(X \).
– \( \sum{Y^2} \) är summan av kvadraterna av variabeln \(Y \).
Pearsons korrelationskoefficient (\(r \)) ligger alltid mellan -1 och 1. En positiv korrelation indikerar att båda variablerna rör sig i samma riktning, medan en negativ korrelation indikerar att när den ena variabeln ökar, minskar den andra. Om \(r = 0 \) finns det ingen linjär korrelation mellan de två variablerna.
Exempelfråga 1
Data
Följande är resultatdata för matematik- och fysikprovet för 5 elever:
| Student | Matematik (X) | Fysik (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Steg för att lösa
1. Beräkning av viktiga komponenter:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\90) + (78\85) + (85\80) + (70\70) + (80\88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Skriv in i formeln:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Beräkning av resultat:
– Täljare: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Nämnare:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
[r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
Således är Pearsons korrelationskoefficient mellan matematik- och fysiktestresultaten 0.633, vilket indikerar att det finns en måttlig positiv korrelation mellan de två variablerna.
Exempelfråga 2
Data
Följande är data om försäljningsvärde och annonsutgifter under 6 månader på ett företag:
| Månad | Annonsering (X) | Försäljning (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Steg för att lösa
1. Beräkning av viktiga komponenter:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000 \2500) + (1800 \2100) + (2200 \2700) + (2400 \2900) + (2300 \3000) + (2500 \3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Skriv in i formeln:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Beräkning av resultat:
– Täljare: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Nämnare:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
[r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
Således är Pearsons korrelationskoefficient mellan annonsutgifter och försäljningsvärde 0.981, vilket indikerar att det finns en mycket stark positiv korrelation mellan de två variablerna.
slutsats
Pearsons korrelationskoefficient (\(r\)) är ett mycket användbart verktyg för att förstå det linjära sambandet mellan två variabler. I de givna exemplen ser vi hur man beräknar \(r\)-värdet och tolkar det. En högre korrelation (närmare 1 eller -1) indikerar ett starkare samband, medan en lägre korrelation (närmare 0) indikerar ett svagare samband. Det är viktigt att notera att korrelation inte innebär orsakssamband; den indikerar helt enkelt att det finns ett samband mellan de två variablerna.
