Exempelfrågor och diskussion om cirkelsektorer
Cirkelsektorer är ett viktigt ämne inom matematiken som ofta förekommer i prov och övningsfrågor. En sektor är den del av en cirkel som begränsas av två radier och den båge som förbinder dem. I den här artikeln kommer vi att diskutera flera exempelproblem om cirkelsektorer, tillsammans med detaljerade förklaringar, för att fördjupa vår förståelse.
Definition av en cirkelsektor
En sektor av en cirkel är en sektor av en cirkel begränsad av två radier och en båge. Arean av en sektor beräknas baserat på en bråkdel av cirkelns totala area. Den huvudsakliga formeln som används för att beräkna en sektor är följande:
– Jurings area: [Ljuring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– Båglängd: [P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Din mana:
– \( \theta \) är sektorvinkelns storlek i grader,
– \(r \) är cirkelns radie,
– π är en konstant (ungefär 3.14159).
Exempel på Soal och Pembahasan
Fråga 1:
Givet en cirkel med radien 10 cm och en sektor med centrumvinkeln 90°. Beräkna sektorns area.
Diskussion:
Det är känt:
– \(r = 10 \) cm
– \( θ = 90^\circ \)
Vi använder formeln för arean av en sektor:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times π \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times π \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Om π tas vara 3.14, då:
[L_juring = 25 × 3.14 cm² = 78.5 cm²]
Så är sektorns yta 38 465 cm².
Fråga 2:
En sektor av en cirkel har en radie på 7 cm och en båglängd på 11 cm. Bestäm sektorns centrumvinkel i radianer.
Diskussion:
Det är känt:
– \(r = 7 \) cm
– Båglängd (P_b = 11 cm)
Vi använder båglängdsformeln för att hitta vinkeln _( _theta _):
[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2π/r\]
Eftersom vi ombeds att hitta vinkeln i radianer ersätter vi 360° med ≤ 2 pi radianer:
\[P_b = θ \times r\]
\[11 = θ × 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \approx 1.57 \text{ rad}\]
Så är sektorns centrala vinkel 1.57 radianer.
Fråga 3:
En cirkel med radien 16 cm har en sektor med arean 200 cm². Beräkna sektorns centrumvinkel.
Diskussion:
Det är känt:
– \(r = 16 \) cm
– \( L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Vi använder areaformeln för en sektor för att hitta θ:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times π \times r^2\]
[200 = ∫[360−−circ} × π × (16)²]
[200 = θ/θ/360 × π]
[200 = θ⁻¹ × 256 × π}{360⁻¹]
\[200 \times 360^\circ = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = θ × 256 × 3.14\]
\[72000 = θ × 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \approx 89.45^\circ\]
Så är sektorns centrala vinkel ungefär 89.45°.
Fråga 4:
Beräkna den totala omkretsen av en sektor med en radie på 12 cm och en centrumvinkel på 120°.
Diskussion:
Det är känt:
– \(r = 12 \) cm
– \( θ = 120^\circ \)
Först hittar vi båglängden:
[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2π/r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \× 2π \× 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \× 2\pi \× 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ cm}\]
Sedan beräknar vi sektorns omkrets (båglängd + två radier):
\[K = 2r + P_b\]
[K = 2 × 12 cm + 8 pi cm]
\[K = 24 cm + 8 pi cm]
Om π tas vara 3.14, då:
[K = 24 cm + 8 × 3.14 cm]
[K = 24 cm + 25.12 cm]
\[K = 49.12\text{ cm}\]
Så är sektorns totala omkrets 49.12 cm.
Fråga 5:
Om en cirkel med en radie på 18 cm har en sektor som bildar en vinkel på 45°, bestäm bågens längd och sektorns area.
Diskussion:
Det är känt:
– \(r = 18 \) cm
– \( θ = 45^\circ \)
1. Båglängd:
[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2π/r\]
[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \× 2π \× 18\text{ cm}]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ cm}\]
Om π tas vara 3.14, då:
[P_b = 4.5 × 3.14 cm = ungefär 14.13 cm]
Så, bågens längd är cirka 14.13 cm.
2. Sektorområde:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times π \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times π \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Om π tas vara 3.14, då:
[L_juring = 40.5 × 3.14 cm² \approx 127.17 cm²]
Så är sektorns yta ungefär 127.17 cm².
slutsats
I den här artikeln har vi diskuterat flera exempelproblem gällande cirkelsektorer och deras lösningar. Kärnan i att förstå cirkelsektorer ligger i att behärska de grundläggande formlerna för att beräkna arean av en sektor och längden på en båge. Regelbunden övning och förståelse för hur man tillämpar dessa formler på olika typer av problem kommer förhoppningsvis att bidra till att förbättra din förmåga att lösa liknande problem.
