Exempelfrågor som diskuterar aritmetiska serier
Aritmetiska sekvenser är ett grundläggande begrepp inom matematiken som ofta förekommer i olika problem, både i gymnasiet och högre utbildning. Detta koncept handlar om en talföljd där varje term är resultatet av att man adderar eller subtraherar ett konstant tal från föregående term. I den här artikeln kommer vi att diskutera flera exempelproblem och deras lösningar för att ytterligare förstå konceptet med aritmetiska sekvenser.
Förstå aritmetiska serier
En aritmetisk serie är en serie som har en konstant skillnad (differens) mellan två på varandra följande termer. Om till exempel en aritmetisk serie har den första termen _(a) och skillnaden _(d) kan termerna skrivas enligt följande:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Om vi vill hitta den n:te termen i denna serie, är formeln för den n:te termen (\(U_n\)):
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Samtidigt kan summan av de första n termerna i en aritmetisk serie (\(S_n\)) beräknas med hjälp av formeln:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Exempel på Soal och Pembahasan
Exempelfråga 1
Fråga: Givet en aritmetisk serie med den första termen _(a = 5)_ och den gemensamma differensen _(d = 3)_. Hitta den 10:e termen i serien.
Diskussion:
För att hitta den tionde termen (\(U_{10}\)) kan vi använda formeln för den nte termen:
[U_{10} = a + (10-1)d]
\[ U_{10} = 5 + (9 ⋅ 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Så, den tionde termen i serien är 32.
Exempelfråga 2
Fråga: Bestäm summan av de första 15 termerna i den aritmetiska serien vars första term är \(a = 4\) och gemensamma differens är \(d = 7\).
Diskussion:
För att hitta summan av de första 15 termerna (\(S_{15}\)) kan vi använda formeln för summan av de första n termerna:
[S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d)]
[S_{15} = 15/2 (2 ⋅ 4 + 14 ⋅ 7)]
[S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
[S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
[S_{15} = 15 ⋅ 53]
\[ S_{15} = 795 \]
Så summan av de första 15 termerna i serien är 795.
Exempelfråga 3
Fråga: Det är känt att den 5:e termen i en aritmetisk serie är 20 och den 12:e termen är 48. Hitta den första termen (\(a\)) och den gemensamma differensen (\(d\)) i serien.
Diskussion:
Från de givna villkoren:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Vi har två linjära ekvationer med två variabler som vi kan lösa:
1. \(a + 4d = 20 \)
2. \(a + 11d = 48 \)
Från ekvation 1 kan vi uttrycka \(a\) i termer av \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
Nu sätter vi in \(a\) i ekvation 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Nu sätter vi in värdet på \(d\) i ekvationen \(a = 20 – 4d\):
[a = 20 – 4 ⋅ 4]
\[a = 20–16 \]
\[ a = 4 \]
Så, den första termen i serien är 4 och den gemensamma skillnaden är 4.
Exempelfråga 4
Fråga: Hur många termer behövs för att en aritmetisk serie med första termen \(a = 2\) och gemensam differens \(d = 5\) ska summera till 200?
Diskussion:
I det här fallet behöver vi hitta summan av de första n termerna (\(S_n\)) som är lika med 200. Använd formeln för summan av de första n termerna:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
Ersätt värdena för \(a\) och \(d\):
[\frac{n}{2} (2 ≥ 2 + (n-1) ≥ 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
Detta är en andragradsekvation. För att lösa den ändrar vi dess form:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Använd den kvadratiska formeln \(ax^2 + bx + c = 0\):
[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
I det här fallet (a = 5), (b = -1) och (c = -400):
[n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
[n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
[n = 1 pm −8001}{10]
Värdet på \(\sqrt{8001}\) är nära 89.42, då:
[n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Vi tar de positiva värdena:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \approx 9.042 \]
Så antalet termer som krävs är 9 termer (om avrundat).
slutsats
Aritmetiska sekvenser är ett viktigt ämne inom matematiken. En grundlig förståelse av den första termen, den gemensamma skillnaden, den n:te termen och summan av de första n termerna är ovärderlig för att lösa en mängd olika problem. Genom att använda exemplen och diskussionerna ovan hoppas man att läsarna får en bättre förståelse för de grundläggande begreppen inom aritmetiska sekvenser.
