Exempelfrågor som diskuterar aritmetiska sekvenser
Aritmetiska sekvenser är ett grundläggande begrepp inom matematiken som ofta förekommer i olika prov och verkliga tillämpningar. En aritmetisk sekvens är en talföljd med en konstant skillnad mellan varannan på varandra följande term. I den här artikeln kommer vi att utforska begreppet aritmetiska sekvenser mer ingående genom flera exempelproblem tillsammans med omfattande förklaringar.
Definitioner och notationer
Innan vi går in på exempelproblemen är det viktigt att förstå notationen som ofta används i aritmetiska sekvenser. Om \(a\) är den första termen och \(d\) är den gemensamma differensen (konstant differens), kan den aritmetiska sekvensen skrivas som:
[a, a+d, a+2d, a+3d, ≥, a+(n-1)d]
Den n:te termen (Un) i denna sekvens kan formuleras som:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Följande är några exempelfrågor och deras diskussioner för att göra det lättare att förstå aritmetiska sekvenser.
Exempelfråga 1
Fråga:
Givet en aritmetisk sekvens med den första termen _(a = 5)_ och den gemensamma differensen _(d = 3)_. Bestäm den 10:e termen i sekvensen.
Diskussion:
Med den allmänna formeln för den n:te termen, nämligen \( U_n = a + (n-1)d \):
[U_{10} = 5 + (10-1) ≥ 3]
\[ U_{10} = 5 + 9 ⋅ 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Så, den 10:e termen i sekvensen är 32.
Exempelfråga 2
Fråga:
Givet en aritmetisk sekvens där den femte termen är 20 och den åttonde termen är 35. Bestäm den första termen \(a\) och den gemensamma differensen \(d\) i sekvensen.
Diskussion:
Från frågan vet vi:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
Subtrahera båda ekvationerna för att eliminera \(a\):
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[3d = 15 \]
\[ d = 5 \]
Nu ersätter vi \(d = 5\) för att hitta \(a\):
[a + 4 ≈ 5 = 20]
\[a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Så, den första termen i sekvensen är 0 och differensen är 5.
Exempelfråga 3
Fråga:
Vad är summan av de första 20 termerna i en aritmetisk sekvens vars första term är \(a = 2\) och gemensam differens \(d = 4\)?
Diskussion:
Summan av de första n termerna i en aritmetisk sekvens kan beräknas med formeln:
[S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]
För den här raden:
[S_{20} = (20/2) (2⁻² + (20-1) ⁻²)]
\[ S_{20} = 10 \vänster( 4 + 76 \höger) \]
[S_{20} = 10 ⋅ 80]
\[ S_{20} = 800 \]
Så summan av de första 20 termerna i sekvensen är 800.
Exempelfråga 4
Fråga:
Den tredje termen i en aritmetisk sekvens är 15 och den sjunde termen är 27. Hitta den tolfte termen i sekvensen.
Diskussion:
Först behöver vi hitta värdena \(a\) och \(d\). Från frågan vet vi:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
Subtrahera båda ekvationerna för att eliminera \(a\):
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[4d = 12 \]
\[ d = 3 \]
Nu ersätter vi \(d = 3\) för att hitta \(a\):
[a + 2 ≈ 3 = 15]
\[a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
Använd formeln för den n:te termen för att hitta den 12:e termen:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 ⋅ 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Så, den 12:e termen i sekvensen är 42.
Exempelfråga 5
Fråga:
En aritmetisk sekvens med första termen \(a\) och gemensam differens \(d\) har summan av de första 10 termerna, nämligen 55. Om \(d = 1\), bestäm den första termen \(a\).
Diskussion:
Givet \(d = 1\) och \(S_{10} = 55\). Använd formeln för summan av de första termerna:
[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
För n = 10:
[S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[2a + 9 = 11 \]
\[2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Så, den första termen i sekvensen är 1.
slutsats
Aritmetiska sekvenser är ett grundläggande begrepp inom matematiken som är extremt användbart inom olika områden. I den här artikeln har vi diskuterat flera exempel på aritmetiska sekvenser och deras lösningar. En god förståelse av formlerna och grundläggande egenskaper hos aritmetiska sekvenser kommer att vara till stor hjälp för att lösa olika typer av problem relaterade till detta ämne.
Genom att öva på exempel som de ovan är det förhoppningsvis så att du blir skickligare och snabbare på att lösa problem som involverar aritmetiska sekvenser.
