Matlotlo a Di-Definite Integrals: Ditshebediso le Mehopolo ya Motheo
Pendahuluan
Li-integral ke e 'ngoe ea likhopolo tsa motheo ka ho fetisisa ho calculus, hammoho le li-derivatives. Li-integral tse sa fetoheng li na le lits'ebetso tse ngata saenseng, boenjiniere le moruong. Li-integral tse sa fetoheng tsa mosebetsi li fana ka boleng bo amanang le sebaka se ka tlas'a lekhalo la mosebetsi oo nakong ea nako e fanoeng. Sengoloa sena se tla hlalosa litšobotsi tse ling tsa motheo tsa li-integral tse sa fetoheng, se fane ka mehlala ea ts'ebeliso, 'me se hlahlobe litlamorao tse sebetsang tsa thepa ka' ngoe.
Selelekela ho Definite Integrals
Ho qala ho utloisisa likarolo tse ikhethileng, re hloka ho hlalosa hore na karolo e ikhethileng ke eng. A re re \( f(x) \) ke mosebetsi o tswelang pele karolong \([a, b]\). Karolo e ikhethileng ea \( f(x) \) ho tloha \( a \) ho ea ho \( b \) e bontšoa ke:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Boleng bona bo fana ka sebaka se baliloeng tlas'a mothapo \( f(x) \) ho tloha \( x = a \) ho isa \( x = b \).
Matlotlo a Li-Definite Integrals
1. Ho lekana ha mola
Di-integral tse sa fetoheng di na le thepa ya ho lekana, ho bolelang hore integral ya kakaretso ya mesebetsi e mengata e lekana le kakaretso ya di-integral tsa mesebetsi ka nngwe. Ka kakaretso, haeba \( f(x) \) le \( g(x) \) e le mesebetsi e tswelang pele ho \([a, b]\) le \( c \) e le ntho e sa fetoheng, jwale:
\[ \int_{a}^{b} [cf(x)] \, dx = c \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
\[ \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx \]
Mohlala oa ts'ebeliso ea thepa ena ea linearity ke ha re batla ho bala sebaka se ka tlas'a mothapo oa mosebetsi o rarahaneng o ka aroloang ka mesebetsi e 'maloa e bonolo.
2. Ho eketsa (Ho eketsa nako)
Thepa e latelang ea bohlokoa ke thepa ea ho eketsa, e bolelang hore motsoako holim'a motsoako oa mekhahlelo e haufi ke kakaretso ea metsoako holim'a mekhahlelo ka 'ngoe. Haeba \( a < c < b \), joale: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \] Thepa ena e na le thuso ha re batla ho bala motsoako holim'a karohano e kholo ka ho e arola ka mekhahlelo e menyenyane, e baloang habonolo. 3. Bophara ba Zero Haeba re kopanya mosebetsi holim'a karohano e nang le bophara ba zero, sephetho sa motsoako ke zero. Ka lipalo: \[ \int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0 \] Ena ke thepa e utloahalang, hobane sebaka se ka tlas'a mothapo karolong ea lefela ke zero. 4. Phetoho ea Meeli (Pembalik Batas) Ho fetola tatellano ea meeli ea karolo e kopaneng ho tla fetola letšoao la karolo e kopaneng: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx \] Sena se na le thuso maemong a fapaneng, haholo-holo ha ho hlokahala ho sebelisa mekhoa ea tšoantšetso ho bala boleng ba karolo e kopaneng. 5. Papiso (Perbandingan)
Di-integral tse tobileng le tsona di na le thepa ya papiso. Haeba mesebetsi e mmedi \( f(x) \) le \( g(x) \) e tswela pele ho \([a, b]\) le \( f(x) \leq g(x) \) bakeng sa tsohle \( x \) ho \([a, b]\), jwale: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} g(x) \, dx \] Thepa ena e bohlokwa tlhahlobong ya boleng bo kopaneng bakeng sa mekgwa ya ho hakanya le ya dipalo. 6. Theorem ea Boleng bo Bongata bakeng sa Li-Integrals Haeba \( f(x) \) e tsoela pele ho \([a, b]\), joale ho na le \( c \) ho \([a, b]\) hoo: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(c) \cdot (b-a) \] Sena se bolela hore ho na le boleng bo tloaelehileng ba \( f(x) \) karolong eo ho atisa bophara ba karolo ho hlahisang boleng ba karolo e kopaneng. 7. Khopolo-taba ea Motheo ea Calculus (Khopolo-taba ea Motheo ea Calculus) Khopolo-taba ena e hokahanya khopolo-taba ea motsoako o tobileng le motsoako o tsoang ho oona, e arotsoe likarolo tse peli: - Karolo ea Pele: Haeba \( f \) e tsoela pele ho \([a, b]\) 'me \( F \) ke anti-derivative ea \( f \) (ke hore, \( F' = f \)), joale: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] - Karolo ea Bobeli: Haeba \( f \) e le mosebetsi o tsoelang pele ho karohano \([a, b]\) le \( G \) e hlalosoa ke: \[ G(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \] joale \( G \) e tsoela pele ho \([a, b]\), phapang ho karohano e bulehileng \((a, b)\), le \( G'(x) = f(x) \). Tšebeliso ea Litšobotsi tsa Li-Integrals tse sa Fetoheng Ho sebelisa litšobotsi tsa li-integrals tse sa Fetoheng lipalo tse sebetsang ho re lumella ho nolofatsa mathata a rarahaneng ho a laolehang haholoanyane. Mehlala e meng ea lits'ebetso ke ena: Ho Bala Sebaka Ho bala sebaka se ka tlas'a mothapo hangata ho hloka ho arola karohano e rarahaneng ka likarolo tse nyane le ho sebelisa linearity le thepa ea additivity: \[ \text{Area} = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \] Fisiks: Mosebetsi le Matla Fisiks, li-integrals tse sa Fetoheng li sebelisoa ho bala mosebetsi o etsoang ke matla a feto-fetohang. Haeba \( F(x) \) e le matla e le mosebetsi wa boemo, mosebetsi o etswang ho tloha boemong \( x = a \) ho ya ho \( x = b \) ke: \[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \] Moruo: Kakaretso ya Lekeno Moruong, haeba \( p(x) \) e le mosebetsi wa theko ka yuniti bongata ba ntho e rekisitsweng, jwale kakaretso ya lekeno ho tloha palong ya \( a \) ho ya ho \( b \) diyuniti tsa ntho e rekisitsweng ke: \[ \text{Total Revenue} = \int_{a}^{b} p(x) \, dx \] Sephetho Sehlomathiso se hlakileng ke sesebediswa sa bohlokwa haholo dipalong tse sebediswang mme se na le thepa e fapaneng e thusang e re dumellang ho nolofatsa le ho rarolla mathata a rarahaneng. Thepa e kang ho otloloha, ho eketsa, le theorem ya motheo ya calculus e fana ka motheo o tiileng bakeng sa dipalo le tlhahlobo e eketsehileng ya dipalo. Ho utlwisisa le ho sebedisa thepa ena ka katleho ho re nolofalletsa ho rarolla mathata mafapheng a fapaneng, ho tloha fisiks ho ya moruong.
