Kabo ea Binomial: Khopolo-taba, Litšebeliso, le Mehlala
Pendahuluan
Kabo ea binomial ke mohopolo oa motheo thutong ea lipalo-palo le khopolo-taba ea monyetla. E le e 'ngoe ea likabo tse arohaneng tse sebelisoang khafetsa, kabo ea binomial e fana ka lits'ebetso tse ngata masimong a kang bongaka, moruo, baeloji le mahlale a kahisano. Sengoloa sena se tla tšohla kabo ea binomial ka botebo, ho kenyeletsoa tlhaloso ea eona, thepa ea bohlokoa, liforomo tse amanang le eona, le mehlala e 'maloa ea ts'ebeliso e sebetsang.
Ho Utloisisa Kabo ea Binomial
Kabo ea binomial e hlalosa sephetho sa liteko tsa n Bernoulli, moo teko ka 'ngoe e nang le liphello tse peli feela tse ka khonehang: "katleho" kapa "ho hloleha." Mohlala, ho lahleloeng ha chelete ea tšepe, liphello tse ka khonehang ke "lihlooho" kapa "lihlooho."
Dipharamithara tse pedi tse ka sehloohong kabong ya binomial ke:
1. n (palo ea liteko)
2. p (monyetla oa katleho tekong ka 'ngoe)
Ka mokhoa o hlophisitsoeng haholoanyane, palo ea katleho litekong tsa n e ka hlalosoa ka kabo ea binomial \( B(n, p) \).
Mosebetsi oa Boima ba Monyetla (PMF)
Mosebetsi oa boima ba monyetla oa kabo ea binomial o entsoe ka tsela ena:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Moo:
– \( \binom{n}{k} \) ke motswako wa n e kgethilweng k,
– \( p \) ke monyetla oa katleho tekong e le 'ngoe,
– \( k \) ke palo ea katleho,
– \( n \) ke palo yohle ya diteko.
Matlotlo a ka Sehloohong a Kabo ea Binomial
Kabo ea binomial e na le litšobotsi tse 'maloa tsa bohlokoa:
1. Bokahare (Karolelano): E fumanoa ka ho atisa palo ea liteko ka monyetla oa katleho tekong ka 'ngoe. Bokahare ke \( \mu = np \).
2. Phapang: Phapang ya kabo ya binomial ke sehlahiswa sa palo ya diteko, kgonahalo ya katleho, le kgonahalo ya ho hloleha, ke hore, \( \sigma^2 = np(1 – p) \).
3. Ho sekama le ho sekama: Ha \( p = 0.5 \), kabo ya binomial e sekama. Bakeng sa \( p < 0.5 \), kabo e sekametse ka ho le letona, mme bakeng sa \( p > 0.5 \), kabo e sekametse ka ho le letshehadi.
4. Meeli ea Boleng: Boleng ba binomial (k) bo tloha ho 0 ho isa ho n.
Kabo ea Binomial le Theorem ea Moeli o Bohareng
Kabo ea binomial e bapala karolo ea bohlokoa ho Central Limit Theorem. Ha palo ea liteko (n) e e-ba kholo haholo, kabo ea binomial e tla atamela kabo e tloaelehileng e nang le karolelano \( \mu = np \) le ho kheloha ho tloaelehileng \( \sigma = \sqrt{np(1 - p)} \).
Mohlala oa Nyeoe o Sebelisang Kabo ea Binomial
Lipuisano mabapi le kabo ea binomial li tla ba bonolo ho li utloisisa ka mehlala e sebetsang e tsoang mafapheng a fapaneng. Tsena ke tse ling tsa lits'ebetso tsa lefats'e la nnete:
Mohlala oa 1: Teko ea Sehlahisoa
A re re khamphani ea lisebelisoa tsa elektroniki e na le mohala oa tlhahiso moo monyetla oa sehlahisoa se nang le sekoli e leng 0.01. Haeba khamphani e hlahloba lihlahisoa tse 100, monyetla oa ho fumana lihlahisoa tse peli tse nang le sekoli ke ofe?
Ho sebelisa foromo ea kabo ea binomial:
\[ P(X = 2) = \binom{100}{2} (0.01)^2 (0.99)^{98} \]
Ka ho bala metsoako \(\binom{100}{2}\), ebe re atisa ka menyetla e setseng, re fumana sephetho sa ho qetela.
Mohlala oa 2: Lipatlisiso tsa Bongaka
Tekong ea bongaka ea moriana oa lefu le itseng, monyetla oa hore mokuli a fole ka moriana ke 0.8. Haeba bakuli ba 10 ba hlahlojoa, monyetla oa hore bonyane bakuli ba 8 ba fole ke ofe?
Ho fumana monyetla ona, re tlameha ho kopanya menyetla ea bakuli ba 8, 9, le 10 ba folang:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \]
Ka ho sebelisa foromo ea binomial bakeng sa boleng bo bong le bo bong ba k (8, 9, le 10), ebe u kopanya liphetho.
Mohlala oa 3: Liqeto tsa Moruo
Phuputsong ea 'maraka, 60% ea bareki ba ratile sehlahisoa se secha. Haeba ho nkuoa sampole e sa reroang ea bareki ba 20, monyetla oa hore bonyane ba 15 ba bona ba ratile sehlahisoa ke ofe?
Re hloka kabo ea binomial ho bala monyetla oa palo ea li-likes ho tloha ho 15 ho isa ho 20:
\[ P(X \geq 15) = P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20) \]
Re sebelisa mokhoa o tšoanang, re bala le ho kopanya menyetla ena.
Ho Sebelisa Theknoloji Lipalong tsa Kabo ea Binomial
Mehleng ea dijithale, lits'ebetso tsa ho bala kabo ea binomial ha li etsoe ka letsoho feela empa li boetse li sebelisoa le software e kang R, Python, kapa li-calculator tse itseng tsa lipalo-palo.
Mohlala oa ho sebelisa Python ho bala kabo ea binomial ke ona:
"'python
ho tsoa ho scipy.stats kenya binom
n = palo ea liteko tse 10
p = 0.8 monyetla oa katleho
k = palo e lebeletsoeng ea katleho tse 8
monyetla oa katleho tse 8 hantle
prob_8 = binom.pmf(k, n, p)
monyetla oa bonyane katleho tse 8
prob_ge_8 = 1 – binom.cdf(k-1, n, p)
print(f”Monyetla oa katleho tse 8 hantle: {prob_8}”)
print(f”Monyetla oa bonyane katleho tse 8: {prob_ge_8}”)
``
Qetello
Kabo ea binomial ke mohopolo oa bohlokoa oa motheo lipalo-palong le monyetla. Ka ho utloisisa kabo ea binomial, re ka sebelisa mehlala e fapaneng ea monyetla maemong a sebele a kenyeletsang liteko tse pheta-phetoang tse nang le liphetho tse peli. Bokhoni ba ho sebelisa lisebelisoa tsa theknoloji bo etsa hore ts'ebetso ea lipalo e sebetse hantle le ho nepahala haholoanyane. Kabo ea binomial ha se ea bohlokoa feela thutong empa hape e na le lits'ebetso tse ngata tse sebetsang tse sebetsang masimong a fapaneng a saense le indasteri.
Ke tšepa hore sengoloa sena se tla fana ka kutloisiso e tebileng ea kabo ea binomial 'me se tla susumetsa lipatlisiso tse ling masimong a lipalo-palo le menyetla.
