Letoto la Jeometri: Mehopolo, Litšobotsi le Litšebeliso
Pendahuluan
Lipalo, ka botle le ho rarahana ha tsona, hangata li hlahisa likhopolo tse khahlang tse nang le lits'ebetso tse sebetsang bophelong ba 'nete. Khopolo e 'ngoe e joalo e bapalang karolo ea bohlokoa lipalo le lits'ebetsong tsa eona ke letoto la li-geometric. Letoto la li-geometric le fana ka mokhoa oa ho utloisisa le ho sekaseka liketsahalo tse holang ka potlako kapa letoto le bontšang mekhoa e itseng ea ho imena habeli. Sengoloa sena se tla hlalosa ka botlalo khopolo-taba, thepa le ts'ebeliso ea letoto la li-geometric.
Tlhaloso ea Letoto la Lijiometri
Letoto la jeometri ke tatellano ea linomoro tseo ho tsona lentsoe ka leng le fumanoang ka ho atisa lentsoe le fetileng ka nomoro e tsitsitseng e bitsoang karolelano. Mohlala, haeba \( a \) e le lentsoe la pele la letoto la jeometri 'me \( r \) e le karolelano (e sa fetoheng), joale letoto la jeometri le ka ngoloa ka tsela ena:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots \]
Moo lentsoe ka leng le fumanoang ka ho atisa lentsoe le fetileng ka karolelano \( r \). Kahoo, lentsoe la nth la letoto la jeometri le ka hlalosoa ka kakaretso e le:
\[ a_n = a \cdot r^{n-1} \]
Mohlala, letoto la \(2, 6, 18, 54, \ldots \) ke letoto la jeometri le nang le \( a = 2 \) le \( r = 3 \) hobane lentsoe ka leng le fumanoa ka ho atisa lentsoe le fetileng ka 3.
Thepa ea Letoto la Lijiometri
1. Katiso e sa Feleng (Karolelano): Thepa ea motheo ea letoto la li-geometric ke hore mantsoe a mabeli a latellanang a na le karolelano e sa fetoheng. Ena ke tšobotsi e ka sehloohong e khethollang letoto la li-geometric ha le bapisoa le mefuta e meng ea letoto kapa tatellano.
2. Equation ea Exponential: Lentsoe la nth la letoto la jeometri le ka hlalosoa ka equation ea exponential \( a_n = a \cdot r^{n-1} \), moo \( n \) e leng boemo ba lentsoe letotong.
3. Kakaretso ea Melao ea Letoto la Jeometri: Kakaretso ea mantsoe a pele a \(n\) a letoto la jeometri e ka baloa ho sebelisoa foromo:
\[ S_n = a \left( \frac{1 – r^n}{1 – r} \right) \]
bakeng sa \( r \neq 1 \). Haeba \( r = 1 \), joale letoto le fetoha letoto le sa fetoheng mme kakaretso ya lona ke \( S_n = n \cdot a \).
4. Letoto la Jeometri le sa Feleng: Bakeng sa letoto la jeometri le sa Feleng, kakaretso ea letoto e fanoa ke:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
ha feela \( |r| < 1 \). Sena se bakoa ke hore letoto le tla kopana (le atamela boleng bo itseng) haeba karolelano e felletseng e le ka tlase ho 1. Mehlala le Litšoantšo A re shebeng mehlala e meng ho hlakisa mohopolo oa letoto la jeometri: 1. Mohlala oa Letoto la Jeometri le Feletseng: A re re re na le letoto \( 3, 12, 48, 192, \ldots \), joale ho ka bonoa hore: \[ a = 3 \] \[ r = 4 \] Ho bala kakaretso ea mantsoe a mahlano a pele, re ka sebelisa foromo bakeng sa kakaretso ea mantsoe: \[ S_5 = 3 \left( \frac{1 - 4^5}{1 - 4} \right) = 3 \left( \frac{1 - 1024}{-3} \right) = 3 \times \left( \frac{-1023}{-3} \right) = 3 \times 341 = 1023 \]
