Бернулијев принцип и материјал о једначинама
KКада возимо мотоцикл прилично брзо, одећа коју носимо се надува позади. Ако још не можете да возите мотоцикл, обратите пажњу на своје родитеље или пријатеље који возе мотоцикле. Њихова одећа се обично надува позади када мотоцикл иде брзо. Понекад, када ветар дува јако, врата куће могу се сама затворити. Чак и ако ветар дува напољу, врата су унутра.
Ово се може објаснити Бернулијевим принципом. Данијел Бернули (1700–1782) је открио принцип који се може користити за објашњење неке од горе наведених.
Бернулијев принцип
Бернулијев принцип каже да тамо где је брзина протока флуида велика, притисак флуида је низак. Супротно томе, ако је брзина протока флуида мала, притисак постаје висок. Када се мотоцикл креће брзо, брзина ваздуха испред и поред вашег тела је велика. Стога, притисак ваздуха постаје низак. Задњи део вашег тела је блокиран предњим делом вашег тела, тако да се брзина ваздуха иза вашег тела не мења у велику (одмах иза вашег тела). Као резултат тога, притисак ваздуха иза вашег тела постаје већи. Пошто постоји разлика у притиску ваздуха, где је притисак ваздуха одмах иза вашег тела већи, ваздух гура вашу мајицу уназад, чинећи да изгледа као да је надувена позади.
Шта је са вратима која се сама затварају када напољу дува јак ветар? Ваздух напољу се креће брже од ваздуха унутра. Као резултат тога, ваздушни притисак напољу је нижи од ваздушног притиска унутра. Због ове разлике у притиску, тамо где је ваздушни притисак унутра виши, врата се гурају ка споља. Другим речима, врата се крећу са места вишег ваздушног притиска на место нижег ваздушног притиска.
Бернулијева једначина
Раније смо учили о Бернулијевом принципу. Бернули је такође квантитативно развио овај принцип. Да бисмо извели Бернулијеву једначину, претпостављамо стационаран, ламинарни ток флуида, нестишљивост и ниску вискозност, што се може занемарити.
У дискусији о једначини континуитета, сазнали смо да се брзина протока флуида такође може мењати у зависности од површине попречног пресека цеви за проток. На основу Бернулијевог принципа објашњеног горе, притисак флуида такође може варирати у зависности од брзине протока флуида. Притисак флуида такође може варирати у зависности од висине флуида. Однос између притиска, брзине протока и висине протока може се добити из Бернулијеве једначине.
Бернулијева једначина је веома важна јер се може користити за анализу лета авиона, хидроелектрана, цевоводних система итд. Да би се Бернулијева једначина коју ћемо извести уопштено применила, претпоставићемо да флуид протиче кроз проточну цев са неједнаким површинама попречног пресека и различитим висинама (видети слику испод). Да бисмо извели Бернулијеву једначину, примењујемо теорему о раду и енергији на флуид у области проточне цеви. Затим ћемо израчунати количину флуида и рад извршен да би се флуид померио.
Непрозирна боја у цеви за проток на слици указује на проток флуида, док бела боја указује на одсуство флуида.
Флуид на површини попречног пресека 1 (лева страна) протиче на растојању L1 и приморава флуид у попречном пресеку 2 (десна страна) да се помери за растојање L2Пошто је површина попречног пресека 2 са десне стране мања, брзина протока флуида на десној страни цеви за проток је већа (сетите се једначине континуитета). То узрокује разлику притиска између попречног пресека 2 (десна страна цеви за проток) и попречног пресека 1 (лева страна цеви за проток) – Сетите се Бернулијевог принципа. Флуид лево од попречног пресека 1 врши притисак P1 на течности са десне стране и обавља рад од:
Тада једначина W1 може се написати као:
W1 = п1 A1 L1
На попречном пресеку 2 (десна страна проточне цеви), рад извршен над флуидом је:
W2 = − p2 A2 L2
Негативни знак означава да је примењена сила супротна од смера кретања. Дакле, флуид врши рад десно од пресека 2. Поред тога, гравитациона сила такође врши рад на флуид. У горе наведеном случају, одређена маса флуида је померена из пресека 1 за растојање L.1 да пресече пресек 2 до L2, где је запремина флуида у попречном пресеку 1 (А1 L1) = запремина флуида у попречном пресеку 2 (A2 L2). Рад који обавља гравитација је:
W3 = − мг (х2 - х1)
W3 = − мгх2 + мгх1)
W3 = мгх1 - мгх2
Негативан знак је због тога што флуид тече навише, супротно од смера гравитације. Дакле, укупан рад обављен на флуиду, као што је приказано на горњој слици, је:
Ш = Ш1 + В2 + В3
W = P1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мгх1 - мгх2
Теорема о рад-енергији каже да је укупан рад извршен на систему једнак промени његове кинетичке енергије. Стога, можемо заменити рад (W) променом кинетичке енергије (EK).2 ‐ ЕК1).
Можемо преписати горњу једначину као:
W = P1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мгх1 - мгх2
EK2 ‐ ЕК1 = П1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мгх1 - мгх2
1⁄2 mv22 – 1⁄2 mv12 = П1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мгх1 - мгх2
Маса флуида који тече на растојању L1 на попречном пресеку А1 = маса флуида који тече на растојању L2 (попречни пресек А2). Одређена маса течности, рецимо m, има запремину од A.1L1 и А2 L2 где је А1 L1 = А2 L2 (L2 дуже од L1).
Сада замењујемо, или ћемо заменити m у горњој једначини са m = ρ AL:
Ово је Бернулијева једначина. Бернулијеву једначину смо извели на основу принципа рада и енергије, тако да је то облик закона о одржању енергије.
Информације:
P = Притисак
ρ = Густина флуида
v = Брзина протока флуида
g = Убрзање гравитације
h = Висина проточне цеви/цевчице од површине тла
Лева и десна страна Бернулијеве једначине могу се односити на било које две тачке дуж цеви за проток, тако да можемо преписати горњу једначину као:
Ова једначина каже да укупан збир количина у једначини има исту вредност кроз целу проточну цев.
Сада хајде да прегледамо Бернулијеву једначину за неке случајеве.
Бернулијева једначина за флуиде у мировању
Посебан случај Бернулијеве једначине је за флуиде у мировању (статичке флуиде). Када флуид мирује, он нема брзину. Дакле, v1 = в2 = 0. У случају мирне течности, Бернулијеву једначину можемо формулисати као:
Ако х2 - х1 = h, онда се ова једначина може написати као:
p1 − стр2 = ρ g (h2 - х1)
p1 − стр2 = ρ gh
Бернулијева једначина за проточне цеви или цеви исте висине
Ако је висина проточне цеви или цеви иста, онда се Бернулијева једначина мења у:
