Зове се Поазејова једначина јер ју је открио покојни Жан Луј Мари Поазеј (1799-1869). Као што је објашњено, сваки флуид се може сматрати идеалним флуидом. Идеални флуиди немају вискозност. Ако замислимо идеалан флуид који тече у цеви, сваки део флуида се креће истом брзином (v). За разлику од идеалних флуида, стварни флуиди, или флуиди које срећемо у свакодневном животу, имају вискозност. Пошто имају вискозност, када теку у цеви, на пример, брзина сваког дела флуида варира. Слој флуида у средини се креће брже (v је велико), док се слој флуида причвршћен за цев не креће, односно мирује (v = 0). Дакле, од центра до ивице цеви, сваки део флуида се креће различитим брзинама. Да бисте лакше разумели, погледајте слику испод…
Информације:
R = полупречник цеви/тубика
v1 = брзина протока флуида у центру/оси цеви
v2 = брзина протока флуида на растојању r2 са ивице цеви
v3 = брзина протока флуида на растојању r3 са ивице цеви
v4 = брзина протока флуида на растојању r4 са ивице цеви
r = растојање
Да би се осигурала иста брзина протока сваке течности, мора постојати разлика у притиску на оба краја било које цеви кроз коју течност тече. Под течностима овде мислимо на стварне течности, као што су вода или уље које тече кроз цев, крв која тече кроз крвне судове итд. Поред тога што помажу да стварна течност тече глатко, разлике у притиску такође могу омогућити течностима да теку у цевима на различитим висинама.
Жан Луј Мари Поазеј, бивши француски научник заинтересован за физичке аспекте људске циркулације крви, спровео је истраживање како би испитао како фактори попут разлика у притиску, површине попречног пресека цеви и величине цеви утичу на брзину стварне течности. Резултати које је добио Жан Луј Мари Поазеј познати су као Поазејова једначина.
Поазејова једначина може се извести коришћењем претходно изведене једначине коефицијента вискозности. Користимо једначину вискозности јер је случај сличан, мада не и идентичан. Приликом извођења једначине коефицијента вискозности, разматрамо ток стварног слоја флуида између две паралелне плоче, а флуид се може кретати због силе затезања (F). Разлика је у томе што Поазејова једначина коју ћемо извести заправо наводи факторе који утичу на ток стварног флуида у цеви, а флуид тече због разлике у притиску. Стога је потребно поново подесити једначину коефицијента вискозности.
Флуиди могу да теку због разлика у притиску (флуиди теку са места са високим притиском на места са ниским притиском), па замењујемо F са p1 - стр2 (p1 > стр2).
Приликом извођења једначине за коефицијент вискозности, разматрамо ток реалног слоја флуида између две паралелне плоче. Сваки део флуида доживљава правилну промену брзине за растојање l. У овом случају, брзина протока флуида се мења правилно од осе цеви до ивице цеви. Флуид на оси цеви тече већом брзином (v). Што је даље према ивици, брзина флуида се смањује. Полупречник цеви = растојање између осе цеви и ивице цеви = R. Растојање између сваког дела флуида и ивице цеви = r. Пошто је број сваког дела флуида веома велики и њихова удаљеност од ивице цеви такође варира, једноставно то пишемо овако:
v1 = брзина флуида на растојању r1 од ивице цеви (r1 = R)
v2 = брзина флуида на растојању r2 од ивице цеви (r2 < r1)
v3 = брзина флуида на растојању r3 од ивице цеви (r3 < r2 < r1)
v4 = брзина флуида на растојању r4 од ивице цеви (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = брзина флуида на растојању rn од ивице цеви (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Број сваког дела флуида је веома велики и такође не знамо тачно колико га заправо има, па је довољно да га запишемо симболом n. Сваки део флуида редовно доживљава промену брзине (v), од осе цеви (r1 = R) до ивице цеви (rn). Од осе цеви (r1 = R) до ивице цеви (rn), брзина сваког дела флуида се смањује (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Из горњег објашњења можемо стећи представу да се од R до rn брзина протока флуида смањује. Дужина цеви = L. Добијена једначина је:
Пошто оно што разматрамо је брзина (v) протока флуида, једначина 2 постаје:
Ово је једначина за брзину протока флуида на растојању r од цеви са полупречником R. Ако сте збуњени док гледате горњу слику... Имајте на уму да флуид тече у цеви, тако да треба да прегледамо запремински проток флуида.
Унутар цеви се налази флуид. На пример, флуид делимо на веома мале делове, где сваки део има јединичну површину dA, удаљен је од осе цеви и има брзину протока v. Математички, ово се може написати на следећи начин:
dA1 = пресек флуида 1, који је на растојању од 1 од осе цеви
dA2 = пресек флуида 2, који је на растојању од 2 од осе цеви
dA3 = пресек флуида 3, који је на растојању од 3 од осе цеви
..................................
dA n = пресек флуида n, што је растојање dA n од осе цеви
Постоји толико много флуидних делова да је згодно једноставно их означити симболом n. Запремински проток сваког флуидног дела може се математички записати на следећи начин:
Сваки комад флуида је на растојању од r = 0 до r = R (R = полупречник цеви). Другим речима, растојање сваког комада флуида варира када се мери од осе цеви. Ако се поиграмо са рачуном (интеграцијом), добићемо једначину за запремински проток флуида у цеви:
Информације:
Q = Дебитна картица
R = Унутрашњи полупречник цеви
η = Коефицијент вискозности
P1 - стр2 = Разлика притиска између два краја цеви
L = Дужина цеви
p1-p2/L = Градијент притиска (проток флуида увек иде у смеру смањења притиска)
На основу горње Поазејеве једначине, чини се да је запремински проток флуида, односно испуштање (Q), пропорционалан четвртом степену полупречника цеви (R).4), градијент притиска (p2 - стр1 /Л) и обрнуто је пропорционалан вискозности. Ако се повећа полупречник цеви (коефицијент вискозности и градијент притиска остају константни), тада се брзина протока флуида повећава за фактор 16.
Основни концепт пројектовања цеви, шприцева итд. користи ову једначину. Испуштање флуида је пропорционално R4 (R = полупречник цеви). Полупречник шприца или полупречник цеви треба пажљиво израчунати. На пример, ако удвостручимо полупречник игле (r x 2), онда испуштање течности која прска = повећава силу притиска палца за 16 пута.
Поазејева једначина такође показује да је четврти степен полупречника (r4), је обрнуто пропорционална разлици притиска између два краја цеви. На пример, крв у почетку тече у крвном суду са унутрашњим полупречником r. Ако дође до сужавања крвног суда (на пример, r/2 = унутрашњи полупречник крвног суда се смањује за 2 пута), онда је потребна разлика притиска од 16 пута да би крв текла као и раније (тако да проток крви или запремина крви остану константни).
