Једначина континуитета

Материјал за једначину континуитета

Покушајте полако да отворите славину за воду док посматрате проток воде који излази из славине. Када се славина престане окретати, делимично је блокирајте руком. Сада упоредите који је проток воде већи. Када је делимично блокиран или блокиран? Ако имате црево које се обично користи за заливање цвећа, пустите воду да тече кроз њега. Делимично блокирајте црево руком или прстом. Што је већи део црева блокиран, вода ће брже истећи. Супротно томе, ако црево није блокирано, вода ће спорије тећи. Зашто је то тако? Да бисте ово разумели, проучите једначину континуитета.

Струјнице и цеви за проток

Прво, хајде да разумемо концепте струјница и проточних цеви. Овај концепт је важан јер ће вам помоћи да разумете једначину континуитета.

Линија тока

Погледајте слику испод, плава линија је линија струје.

У стационарном току, брзина сваке честице флуида у тачки, рецимо тачки А, остаје константна. Како пролази поред тачке Б, брзина честица флуида се може променити. Међутим, по доласку у тачку Б, честице флуида које следе иза њих настављају да теку истом брзином као и честице флуида које су им претходиле. Исто важи и при доласку у тачку Ц, и тако даље. Линија струје је крива која спаја тачке А, Б и Ц.

Проточна цев

У суштини, можемо нацртати сваку линију струје кроз сваку тачку у току флуида. Ако посматрамо стационарни ток флуида, више линија струје које пролазе под одређеним углом на замишљеној површини (имагинарна површина) формирају цев за проток. Ниједна честица флуида се не сече, већ су увек паралелне, а цев за проток ће подсећати на цев која увек има исти облик. Флуид који улази на једном крају цеви излазиће из цеви на другом крају.

Дебит

Проток показује запремину флуида који протиче кроз одређени попречни пресек у одређеном временском интервалу. Математички, може се изразити на следећи начин:

Да бисмо боље разумели, употребимо један пример. Претпоставимо да флуид тече кроз цев. Цеви су обично цилиндричне и имају одређену површину попречног пресека. Цев такође има дужину.

Када флуид тече у цеви до L, тада је запремина флуида у цеви V = AL (V = запремина флуида, A = површина попречног пресека и L = дужина цеви). Пошто током протока у цеви дуж L флуид прелази одређени временски интервал, онда можемо рећи да је величина испуштања флуида:

Пошто је v = s/t = L/t —> L = vt, горња једначина се мења у:

Дакле, када флуид протиче кроз цев која има одређену површину попречног пресека и дужину током одређеног временског интервала, величина испуштања флуида (Q) једнака је површини попречног пресека (A) помноженој са брзином протока флуида (v).

Једначина континуитета

Размотрите проток флуида у цеви различитих пречника, као што је приказано на слици испод.

Ова слика приказује ток флуида с лева на десно (флуид тече из цеви великог пречника у цев малог пречника). Испрекидане линије представљају линије струје.

Натпис слике: А₁ = површина попречног пресека цеви великог пречника, А₂ = површина попречног пресека цеви малог пречника, v₁ = брзина протока флуида у делу цеви великог пречника, v₂ = брзина протока флуида у делу цеви малог пречника, L = пређена удаљеност флуида.

У уводу у динамику флуида објашњено је да се у динамици флуида говори о току флуида који су нестишљиви, невискозни, нетурбулентни и стационарни. У стационарном току, брзина честица флуида у једној тачки је иста као и брзина других честица флуида које пролазе кроз ту тачку. Токови флуида се такође не секу (линије струје су паралелне). Стога, маса флуида који улази у један крај цеви мора бити једнака маси флуида који излази из другог краја. Ако флуид одређене масе уђе у цев великог пречника, онда ће флуид изаћи из цеви малог пречника са константном масом.

Сада погледајте слику цеви изнад. Погледајте део цеви са великим пречником и део цеви са малим пречником.

Током одређеног временског интервала, одређена количина флуида протиче кроз део цеви великог пречника (А).₁) што се тиче Л₁ (L₁ = в₁ т). Запремина флуида која тече је V₁ = А₁ L₁ = А₁ v₁ т. Током истог временског интервала, друга количина флуида протиче кроз део цеви мањег пречника (А).₂) што се тиче Л₂ (L₂ = в₂ т). Запремина флуида која тече је V₂ = А₂ L₂ = А₂ v₂ t.

Једначина континуитета за нестиљиве флуиде (неподношљив)

Прво, размотримо случај нестишљиве течности. У нестишљивој течности, густина, или маса, течности је увек иста у свакој тачки кроз коју пролази. Маса течности која тече у цеви са површином попречног пресека А је₁ (велики пречник цеви) током одређеног временског интервала је:

Исто тако, маса флуида који тече у цеви која има површину попречног пресека А₂ (мали пречник цеви) током одређеног временског интервала је:

Узимајући у обзир да је при стационарном току маса флуида који улази иста као и маса флуида који излази, онда:

m₁ = м₂

ρ A₁ v₁ t = ρ A₂ v₂ t (густина флуида и временски интервал су исти па се поништавају)

A₁ v₁ = А₂ v₂

Дакле, у нестиљивим флуидима важи једначина континуитета:

A₁ v₁ = А₂ v₂ — Једначина 1

Информације:

A₁ = површина попречног пресека 1, A₂ = површина попречног пресека 2, v₁ = брзина протока флуида у попречном пресеку 1, v₂ = брзина протока флуида у попречном пресеку 2, A v = запремински проток V/t, односно испуштање

Једначина 1 показује да је запремински проток, такође познат као испуштање, увек исти у свакој тачки дуж цеви или проточне цеви. Како се попречни пресек цеви смањује, проток флуида се повећава; обрнуто, како се попречни пресек цеви повећава, проток флуида се смањује.

Када делимично зачепимо славину, проток воде постаје бржи него када је славина делимично затворена. То је зато што се површина попречног пресека славине смањује када је славина делимично затворена, што повећава брзину протока воде (течност тече брже). Исто важи и за црева. Међутим, важно је напоменути да проток или запремински проток остаје исти на свим тачкама дуж тока воде, без обзира да ли је славина делимично затворена или не. Дакле, оно што се мења је брзина протока течности.

Шта је онда са протоком воде у реци? Дубљи делови реке имају већи попречни пресек од плићих делова, тако да је брзина протока воде у дубљим деловима нижа него у плићим деловима. Ако видите веома миран ток реке, то значи да је река дубока. Али ако река изненада постане брза, тај део је дефинитивно плитак. Међутим, брзина протока воде је увек иста, било у дубоким или мирним деловима реке.

Једначина континуитета за стишљиве флуиде (који може да се компримује)

За случај стишљиве течности (који може да се компримује), густина флуида није увек иста. Другим речима, густина флуида се мења када се компресује. Ако елиминишемо густину флуида из једначине за нестишљиви флуид, онда је у овом случају густина флуида и даље укључена. Користећи претходно изведену једначину као водич, изведимо једначину за стишљиви флуид.

Узимајући у обзир да је при стационарном току маса флуида који улази иста као и маса флуида који излази, онда:

m₁ = м₂

ρ A₁ v₁ t = ρ A₂ v₂ t

Временски интервал протока флуида је исти, тако да се може елиминисати. Једначина се мења у:

ρ A₁ v₁ = ρ А₂ v₂ → Једначина 2

Ово је једначина за стишљиву течност. Једина разлика лежи у густини течности. Када се течност стисне, њена густина се мења. Супротно томе, када је течност нестишљива, њена густина остаје константна и може се поништити.

Пример питања 1:

Вода тече кроз цев пречника 10 цм брзином од 2 м/с. Колики је проток воде?

Пембахасан

Познато је да:

Пречник цеви = 10 цм (ово је унутрашњи пречник цеви)

Полупречник цеви (r) = 5 cm = 0,05 m

v воде = 2 m/s

Питао/ла: Дебит

Јаваб :

Q = A v

Q = (πr²) (2 м/с)

Q = (3,14)(0,05 м)² (2 м/с)

Q = (3,14)(0,0025 м²)(2 м/с)

Q = 0,0157 м³ / с

Пример питања 2:

Водоводна цев пречника 20 цм је повезана са другом цеви пречника 10 цм. Ако је брзина протока воде у цеви пречника 20 цм = 4 м/с, колика је брзина протока воде у цеви пречника 10 цм?

Пембахасан

Познато је да:

Пречник 1 = 20 цм (r₁ = 10 цм = 0,1 м)

v₁ = 4 м/с

Пречник 2 = 10 цм (r₂ = 5 цм = 0,05 м)

Питање: v₁

Јаваб :

Q₁ = К₂

A₁ v₁ = А₂ v₂

(πr₁₂) (4 м/с) = (πr₂₂) (в₂)

(КСНУМКС м)² (4 м/с) = (0,05 м)² (v²)

(КСНУМКС м²)(4 м/с) = (0,0025 м²)(в²)

(КСНУМКС м³ /с) = (0,0025 м²)(в²)

v² = 16 м/с