Пример питања о дводимензионалним векторима у координатном систему
Вектор је величина која има и величину и правац. Вектори се често користе у разним математичким и физичким темама за представљање различитих појава. У овом чланку ћемо размотрити примере дводимензионалних вектора у координатном систему.
Основни концепти вектора у координатним системима
Вектор у дводимензионалном координатном систему може се представити као \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), где је \(a_1\) x-компонента вектора, а \(a_2\) y-компонента вектора. Вектор се може разложити на две компоненте, наиме x-компоненту и y-компоненту.
Сабирање и одузимање вектора
Сабирање два вектора \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) и \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) је:
\[
\вец{А} + \вец{Б} = (а_1 + б_1, а_2 + б_2)
\]
Док је смањење:
\[
\вец{А} – \вец{Б} = (а_1 – б_1, а_2 – б_2)
\]
Скаларно множење
Ако је \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) и \(k\) скалар, онда је \(k\vec{A}\):
\[
k\vec{A} = (k ∈ a_1, k ∈ a_2)
\]
Векторска величина
Величина или дужина вектора \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) је:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Јединични вектор
Јединични вектор је вектор дужине једне јединице. Јединични вектор \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) је:
\[
`(A) = `(A)` | `A`|} = `(a_1}{a_1^2 + a_2^2}, `(a_2}{a_1^2 + a_2^2})`
\]
Цонтох Соал и Пембахасан
Питање 1: Сабирање и одузимање вектора
Два вектора су дата на следећи начин: \(\vec{A} = (3, 4)\) и \(\vec{B} = (1, 2)\). Наћи производ \(\vec{A} + \vec{B}\) и \(\vec{A} – \vec{B}\).
пембахасан:
\[
\вец{А} + \вец{Б} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\вец{А} – \вец{Б} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Питање 2: Скаларно множење
Дат вектор \(\vec{C} = (2, -3)\), израчунајте \(3\vec{C}\) и \(-2\vec{C}\).
пембахасан:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
Питање 3: Векторска величина
Израчунајте величину вектора \(\vec{D} = (5, 12)\).
пембахасан:
\[
|\вец{Д}| = \скрт{5^2 + 12^2} = \скрт{25 + 144} = \скрт{169} = 13
\]
Питање 4: Јединични вектори
Наћи јединични вектор вектора \(\vec{E} = (4, 3)\).
пембахасан:
\[
|\вец{Е}| = \скрт{4^2 + 3^2} = \скрт{16 + 9} = \скрт{25} = 5
\]
\[
θ{E} = θ|θ|} = θ( 4 θ5, 3 θ5)
\]
Питање 5: Положај и растојање вектора
Две тачке у дводимензионалној координатној равни су P(2, 3) и Q(5, 7). Одредити вектор положаја од тачке P до тачке Q и растојање између њих.
пембахасан:
Вектор положаја од P до Q је:
\[
\вец{ПК} = \вец{К} – \вец{П} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Растојање између тачака P и Q је:
\[
|\вец{ПК}| = \скрт{(3)^2 + (4)^2} = \скрт{9 + 16} = \скрт{25} = 5
\]
Питање 6: Резултат скаларног производа
Ако је \(\vec{F} = (-3, 4)\) и \(\vec{G} = (2, 1)\), израчунајте скаларни производ \(\vec{F} \cdot \vec{G}\).
пембахасан:
Скаларни производ два вектора је:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Питање 7: Угао између два вектора
Ако је \(\vec{H} = (7, -4)\) и \(\vec{I} = (3, 0)\), одредите угао између два вектора.
пембахасан:
Да бисмо одредили угао између два вектора, користимо формулу:
\[
θ = θ | H | I
\]
Прво, израчунајте скаларни производ \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Затим, израчунајте величине \(\vec{H}\) и \(\vec{I}\):
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Унесите ове вредности у формулу:
\[
θ = 21/3/65 ∫ = 21/3/65 = 7/65
\]
Дакле, (θ = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).
Питање 8: Векторска пројекција
За векторе \(\vec{J} = (2, 1)\) и \(\vec{K} = (-1, 3)\), израчунајте пројекцију \(\vec{J}\) на \(\vec{K}\).
пембахасан:
Пројекција \(\vec{J}\) на \(\vec{K}\) је:
\[
\тект{прој}_{\вец{К}} \вец{Ј} = \лефт( \фрац{\вец{Ј} \цдот \вец{К}}{|\вец{К}|^2} \ригхт) \вец{К}
\]
Прво, израчунајте скаларни производ \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
Ј = 2 (-1) + 1 3 = -2 + 3 = 1
\]
Затим, величина \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Дакле,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Унесите у формулу:
\[
`proj}_{\vec{K}} \vec{J} = (\frac{1}{10}) \vec{K} = (\frac{1}{10}) (-1, 3) = (-\frac{1}{10}, \frac{3}{10})`
\]
Ово су примери проблема и дискусија везаних за дводимензионалне векторе у координатном систему. Добро разумевање вектора може бити корисно у многим применама у математици, физици и инжењерству. Вежбање са различитим примерима може продубити ваше разумевање овог концепта, омогућавајући његову ефикасну примену у различитим ситуацијама.
