Пример питања која се односе на варијансу и стандардну девијацију групних података
Пендахулуан
У статистици, варијанса и стандардна девијација су две статистичке мере које су кључне за разумевање дисперзије, или распона, података од средње вредности. Варијанса мери колико су подаци распоређени од средње вредности, док је стандардна девијација квадратни корен варијансе, пружајући меру која је у истим јединицама као и оригинални подаци.
Дефиниси
– Варијанса (σ² или S²): То је просек квадрата разлика између сваке вредности података и средње вредности података.
– Стандардна девијација (σ или S): Је квадратни корен варијансе.
Формула за варијансу и стандардну девијацију групних података
За групне податке користимо учесталост података у свакој класи. Ево формуле:
Вариан
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Стандардна девијација
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Где:
– \( f_i \) = учесталост сваке класе.
– \( x_i \) = средишња тачка сваке класе.
– \( \bar{x} \) = просек групних података.
– \( N \) = укупан број података.
Цонтох Соал и Пембахасан
Претпоставимо да имамо податке о тежини за групу људи груписаних у класе.
| Интервал тежине (кг) | Учесталост (ф) |
|———————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Први корак је одређивање средње тачке сваке класе ( \( x_i \) ), а затим израчунавање средње вредности ( \( \bar{x} \) ).
1. Израчунавање средње тачке ( \( x_i \) )
\[ \text{Средња тачка} = \frac{\text{Доња граница} + \text{Горња граница}}{2} \]
| Интервал тежине (кг) | Фреквенција (ф) | Средња тачка ( \( x_i \) ) |
|——————|—————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Израчунавање просека ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Укупан број података \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 пута 52) + (5 пута 57) + (8 пута 62) + (7 пута 67) + (3 пута 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Дакле, просек (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Израчунавање варијансе ( \( S^2 \) )
Потребно је да израчунамо \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{поравнај}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{поравнај}
\]
Множење са фреквенцијом:
\[
\begin{поравнај}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \пута 118.84 = 237.68 \\
& 5 пута 33.64 = 168.2
& 8 пута 0.64 = 5.12
& 7 пута 17.64 = 123.48
& 3 пута 84.64 = 253.92
\end{поравнај}
\]
\[
∫f_i(x_i – x)² = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Сада можемо израчунати варијансу (\( S^2 \)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \приближно 32.85 \]
4. Израчунавање стандардне девијације ( \( S \) )
Стандардна девијација ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \приближно 5.73 \]
Закључак
Из горњег примера података, имамо:
– Израчунавање просечне телесне тежине: 62.8 кг
– Израчунавање варијансе: 32.85 kg²
– Израчунавање стандардне девијације: 5.73 кг
Тумачење стандардне девијације је да је просечно одступање података о тежини од средње вредности приближно 5.73 кг. Ово указује на распон података у односу на средњу вредност, што може помоћи да се закључи колико су наши подаци променљиви.
Темељно разумевање варијансе и стандардне девијације је кључно, посебно за оне који раде у статистици, истраживању и тестирању, јер покушавају да разумеју податке у облику група или дистрибуција. Познавање начина израчунавања и тумачења ове две мере може помоћи у бољем доношењу одлука на основу расположивих података.
