Пример питања о сабирању вектора по компонентама
Сабирање вектора је фундаментални поступак у физици и математици који се користи за проналажење резултанте два или више вектора. Компонентни приступ решавању сабирања вектора је посебно користан метод, посебно када се ради са векторима у две или три димензије. Овај чланак ће објаснити концепт компонентног сабирања вектора и пружити неколико примера проблема и решења.
Концепт компонентног сабирања вектора
Сваки вектор у дводимензионалном (2D) простору може се разложити на две компоненте: x (хоризонталну) компоненту и y (вертикалну) компоненту. У три димензије (3D), вектори имају додатну компоненту, z (дубинску) компоненту.
Претпоставимо да имамо два вектора A и B. Компоненте ових вектора могу се изразити на следећи начин:
– Вектор А има компоненте \(A_x\) и \(A_y\) у 2D (или такође \(A_z\) у 3D).
– Вектор B има компоненте \(B_x\) и \(B_y\) у 2D (или такође \(B_z\) у 3D).
Сабирањем ова два вектора добија се резултујући вектор R који има следеће компоненте:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
За векторе у 3Д, z компонента је такође следећа:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Након израчунавања сваке компоненте резултујућег вектора, можемо пронаћи модул (магнитуду) и смер резултујућег вектора користећи формулу:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (за 2D)
Или за 3Д:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
А правац резултујућег вектора може се одредити углом у односу на координатне осе.
Цонтох Соал и Пембахасан
Питање 1
Дата су два вектора у дводимензионалној равни:
– А је \(5 \, \text{јединица}\) источно.
– B је \(3 \, \text{јединица}\) северно.
Одредити резултујући вектор R.
Пембахасан
Прво, конвертујемо вектор у његове одговарајуће компоненте.
– Вектор А: \(А = (5, 0)\) јер има само x компоненту.
– Вектор B : \(B = (0, 3)\) јер има само y компоненту.
Ево збира компоненти:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ Р_и = А_и + Б_и = 0 + 3 = 3 \]
Тада је резултујући вектор R:
\[ R = (5, 3) \]
Да бисте израчунали дужину (модул) вектора R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \приближно 5.83 \]
Правац вектора R може се израчунати коришћењем угла θ у односу на x-осу:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctgan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Дакле, резултујући вектор R има дужину од око 5.83 јединице и заклапа угао од 30.96° са x-осом.
Питање 2
Дата су два вектора у три димензије:
– А је (3i + 2j + 1k)
– B је \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
Одредити резултујући вектор R.
Пембахасан
Прво, идентификујемо компоненте сваког вектора:
– Вектор А: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Вектор B: \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Ево збира компоненти:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ Р_и = А_и + Б_и = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Тада је резултујући вектор R:
\[ R = (4, 6, 3) \]
Да бисте израчунали дужину (модул) вектора R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \приближно 7.81 \]
Правац вектора R у односу на x, y и z осе може се израчунати помоћу косинуса директора:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \approx 0.512 \]
\[ \алфа = \arccos(0.512) \приближно 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \приближно 0.768 \]
\[ \бета = \arccos(0.768) \приближно 39.50^\circ \]
\[ \cos(\γ) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \приближно 0.384 \]
\[ \гама = \аркос(0.384) \приближно 67.64^\циркум \]
Дакле, резултујући вектор R има дужину од око 7.81 јединице, а његови правци у односу на x, y и z осе су 59.50°, 39.50° и 67.64°.
Питање 3
Дата су два вектора:
– P има магнитуду од 4 јединице и заклапа угао од 45° са позитивном x-осом.
– Q има магнитуду 6 јединица и заклапа угао од 120° са позитивном x-осом.
Одредити резултујући вектор R.
Пембахасан
Прво, разлажемо вектор на његове x и y компоненте:
– Вектор P: (P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), (P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– Вектор Q: (Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3\), (Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
Ево збира компоненти:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ Р_и = П_и + К_и = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Тада је резултујући вектор R:
\[R = (-0.17, 8.03) \]
Да бисте израчунали дужину (модул) вектора R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \приближно 8.03 \]
Правац вектора R:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctgan(-47.24) \approx -88.99^\circ \]
Међутим, овај угао се мери око негативне x-осе, тако да је стварни угао у контексту проблема:
\[ 180^\круг – 88.99^\круг \приближно 91.01^\круг \]
Дакле, резултујући вектор R има дужину од око 8.03 јединице и заклапа угао од 91.01° са позитивном x-осом.
Овај чланак је разматрао компонентно сабирање вектора, пружајући неколико примера проблема и решења. Компонентна метода је веома корисна за поједностављивање прорачуна и пружање систематског начина решавања векторских проблема у математичкој димензији простора.
