Пример питања о сабирању два вектора коришћењем методе паралелограма
Сабирање вектора је кључни концепт у физици и математици, често се користи за описивање природних појава и проблема свакодневног живота. Постоји неколико метода за сабирање два вектора, од којих је једна метода паралелограма. Ова метода није само интуитивна, већ пружа и моћну визуелизацију како се два вектора комбинују да би формирала резултујући вектор. У овом чланку ћемо погледати неколико примера сабирања вектора коришћењем методе паралелограма, заједно са њиховим решењима.
Шта је вектор?
Пре него што пређемо на примере проблема, потребно је да разумемо основну дефиницију вектора. Вектор је величина која има и величину (дужину) и правац. Класични примери вектора укључују брзину, убрзање, силу и померање. Вектор се може представити као његове компоненте (i, j, k) у Декартовим координатама или као његова дужина и правац (угао).
Метод паралелограма
Метод паралелограма је један од начина за сабирање два вектора. У овом методу, представљамо два вектора као две странице паралелограма. Резултантни вектор је дијагонала паралелограма која почиње од почетне тачке два вектора. Математички, ако имамо два вектора \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\), резултанта је \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \).
Корак-по-корак метода коришћења паралелограмске методе је следећа:
1. Нацртајте вектор \(\vec{A}\) из почетне тачке.
2. Са краја вектора \(\vec{A}\), нацртајте вектор \(\vec{B}\).
3. Нацртајте линију паралелну вектору \(\vec{B}\) из почетне тачке \(\vec{A}\).
4. Нацртајте линију паралелну вектору \(\vec{A}\) од краја вектора \(\vec{B}\).
5. Нацртајте дијагоналу од почетне тачке до супротног угла да бисте добили резултујући вектор \(\vec{R}\).
Цонтох Соал и Пембахасан
Питање 1
Претпоставимо да имамо два вектора \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) има дужину (магнитуду) од 5 јединица и правац од 0° (или дуж позитивне x-осе),
– \(\vec{B}\) има дужину од 3 јединице и правац од 90° (или дуж позитивне y-осе).
Колика је резултујућа вредност сабирања ова два вектора користећи метод паралелограма?
пембахасан:
1. Нацртајте вектор \(\vec{A}\) дуж позитивне x-осе дужине 5 јединица.
2. Са краја вектора \(\vec{A}\), нацртајте вектор \(\vec{B}\) дуж позитивне y-осе дужине 3 јединице.
3. Од почетне тачке \(\vec{A}\), нацртајте линију паралелну са \(\vec{B}\).
4. Од краја \(\vec{B}\), повуците линију паралелну са \(\vec{A}\).
5. Резултат је паралелограм са дијагоналом која је резултујући вектор \(\vec{R}\).
Пошто су \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) нормални једно на друго, можемо користити Питагорину теорему да израчунамо дужину резултујућег вектора:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \приближно 5.83 \]
Правац резултујућег вектора може се израчунати помоћу тригонометрије. Ако је \(\theta\) угао између резултујуће и \(\vec{A}\):
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
тако:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Дакле, резултујући вектор \(\vec{R}\) има магнитуду од око 5.83 јединица и правац од око 30.96° од \(\vec{A}\).
Питање 2
Два вектора \(\vec{C}\) и \(\vec{D}\) су дата на следећи начин:
– \(\vec{C}\) са дужином од 4 јединице и правцем од 45°.
– \(\vec{D}\) са дужином од 6 јединица и правцем од 120°.
Одредити резултујући вектор \(\vec{R}\) сабирањем два вектора.
пембахасан:
Да бисте сабрали два вектора који нису нормални један на други или су различитих облика, можете користити Декартове компоненте.
1. Разложите \(\vec{C}\) и \(\vec{D}\) на x и y компоненте.
За \(\vec{C}\):
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
За \(\vec{D}\):
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \]
2. Саберите x и y компоненте оба вектора:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Израчунајте величину и смер резултујућег вектора \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \приближно 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]
Пошто је резултат негативан, додајемо 180° да бисмо добили угао у исправном квадрантном систему:
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
Дакле, резултујући вектор \(\vec{R}\) има магнитуду од око 8.03 јединица и правац од око 271.93°, или можемо рећи око 91.93° од негативне x-осе у четвртом квадранту.
Пенутуп
Метод паралелограма је ефикасан и визуелан начин за сабирање два вектора. Иако овај метод може изгледати једноставан за једноставне векторе, важно је разумети да за сложеније векторе често морамо да користимо Декартове компоненте и напредније алгебарске технике да бисмо добили тачне резултате. Надамо се да горњи примери пружају јасну слику о томе како се овај метод може применити у различитим ситуацијама.
