Пример питања и дискусија о одузимању вектора
Пендахулуан
У математици и физици, вектори су фундаментални концепт који се користи за објашњење многих природних и инжењерских феномена. Вектор је величина која има и величину и правац. Неки важни примери вектора су померање, брзина, убрзање и сила. У овом чланку ћемо разматрати одузимање вектора, иако се ова тема често наглашава у контексту комбиновања вектора.
Одузимање вектора је фундаментална операција која је кључна у векторској анализи. Да бисмо дубље заронили у овај концепт, прегледајмо неке примере проблема и дискусије везане за одузимање вектора.
Одузимање вектора
Одузимање вектора {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} је дефинисано као операција сабирања вектора {\displaystyle \mathbf{A}} са вектором {\displaystyle -\mathbf{B}}, где је {\displaystyle -\mathbf{B}} вектор исте величине као {\displaystyle \mathbf{B}}, али са супротним смером. Математички, ово се може написати као:
{\дисплаистиле \матхбф{А} – \матхбф{Б} = \матхбф{А} + (-\матхбф{Б})}
Цонтох Соал и Пембахасан
Питање 1: Одузимање дводимензионалних вектора
Претпоставимо да постоје два вектора у картезијанским координатама:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} и {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. Израчунај {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}.
пембахасан:
Први корак је проналажење негативног вектора од {\displaystyle \mathbf{B}}, наиме:
B = (-1, -2)
Затим, додајте вектор {\displaystyle \mathbf{A}} са {\displaystyle -\mathbf{B}}:
{\дисплаистиле \матхбф{А} – \матхбф{Б} = (4, 3) + (-1, -2)}
Извршите сабирање вектора сабирањем сваке x и y компоненте:
{\дисплаистиле \матхбф{А} – \матхбф{Б} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\дисплаистиле \матхбф{А} – \матхбф{Б} = (3, 1)}
Дакле, резултат одузимања вектора {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} је вектор (3, 1).
Питање 2: Одузимање тродимензионалних вектора
Дата су два вектора у тродимензионалним координатама:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} и {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. Израчунај {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}.
пембахасан:
Први корак је проналажење негативног вектора од {\displaystyle \mathbf{Q}}:
Q = (3, -5, -7)
Затим, додајте вектор {\displaystyle \mathbf{P}} са {\displaystyle -\mathbf{Q}}:
{\дисплаистиле \матхбф{П} – \матхбф{К} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Извршите сабирање вектора сабирањем сваке x, y и z компоненте:
{\дисплаистиле \матхбф{П} – \матхбф{К} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\дисплаистиле \матхбф{П} – \матхбф{К} = (5, -9, -1)}
Дакле, резултат одузимања вектора {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} је вектор (5, -9, -1).
Питање 3: Одузимање вектора у комплексној равни
Претпоставимо да постоје два вектора представљена комплексним бројевима:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} и {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. Израчунај {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}.
пембахасан:
Први корак је проналажење негативног вектора од {\displaystyle \mathbf{N}}:
{\дисплаистиле -\матхбф{Н} = -1 – 2и}
Затим, додајте вектор {\displaystyle \mathbf{M}} са {\displaystyle -\mathbf{N}}:
{\дисплаистиле \матхбф{М} – \матхбф{Н} = (3 + 4и) + (-1 – 2и)}
Извршите сабирање вектора сабирањем сваке реалне и имагинарне компоненте:
{\дисплаистиле \матхбф{М} – \матхбф{Н} = (3 + (-1)) + (4и + (-2и))}
{\дисплаистиле \матхбф{М} – \матхбф{Н} = 2 + 2и}
Дакле, резултат одузимања вектора {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} је комплексни број 2 + 2i.
Питање 4: Одузимање вектора у поларном координатном систему
Претпоставимо да постоје два вектора у поларним координатама:
{\displaystyle \mathbf{U}} има магнитуду 5 и угао од 30°,
и {\displaystyle \mathbf{V}} има магнитуду 3 и угао од 150°.
Израчунај {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}.
пембахасан:
Први корак је конвертовање вектора {\displaystyle \mathbf{U}} и {\displaystyle \mathbf{V}} у Декартове координате.
За {\дисплаистиле \матхбф{У}}:
U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
Дакле, {\displaystyle \mathbf{U}} у Декартовом систему је (4.33, 2.5).
За {\дисплаистиле \матхбф{В}}:
V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
Дакле, {\displaystyle \mathbf{V}} у Декартовом систему је (-2.598, 1.5).
Следећи корак, израчунајте одузимање вектора у картезијанском систему:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Што значи додавањем негативне вредности вектора:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
Дакле, резултат одузимања вектора {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} у Декартовим координатама је (6.928, 1).
Закључак
Одузимање вектора је суштинска математичка операција у многим областима које користе векторску анализу. Било да се ради о дводимензионалним, тродимензионалним, комплексним или поларним координатним системима, основни принцип остаје исти: сабирање једног вектора негативном вредности другог. Горе наведени примери илуструју различите начине примене ове операције у различитим контекстима, помажући нам да дубље и практичније разумемо концепт.
